Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = z
m
.
x 1 y m y
0
m − 1.
2x
2
y
0
= y
3
+ xy.
y = z
m
2mx
2
z
m−1
z
0
= z
3m
+ xz
m
2 + m − 1 = 3m = m + 1
m =
1
2
y = z
1
2
x
2
z
−
1
2
z
0
= z
3
2
+ xz
1
2
.
z
1
2
x
2
z
0
=
z
x
2
+
z
x
.
z = xu z
0
= u + xu
0
xu
0
= u
2
,
du
u
2
=
dx
x
,
1
u
= −ln |Cx|.
u = 0 y(x)
x = −y
2
ln |Cx|, y = 0.
x
3
(y
0
− x) = y
2
y
0
= y
2
−
2
x
2
xdy + y(3xy + 1)dx = 0
y
2
p
x − y
2
x
2
= 2xy
0
+ y
x
2
= (x
2
− y) ln Cx 1 −xy = Cx
3
(2 + xy) y = x
−1
ln
−1
Cx
3
x = 0
y = 0 2
p
(1/xy
2
) − 1 = −ln Cx y = 0 xy
2
= 1
                                                                13


                      2.3       Îáîáùåííî - îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ
Îáîáùåííî - îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê îäíîðîäíîìó çàìåíîé y = z m . Ýòî
âîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà â óðàâíåíèè âñå ÷ëåíû èìåþò îäèíàêîâûå èçìåðåíèÿ, åñëè
ïåðåìåííîìó x ïðèïèñàòü èçìåðåíèå 1, ïåðåìåíîé y  èçìåðåíèå m è ïðîèçâîäíîé y 0 
èçìåðåíèå m − 1.
Ïðèìåð     6. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                               2x2 y 0 = y 3 + xy.

  Ðåøåíèå.       Ïîñëå çàìåíû y = z m óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 2mx2 z m−1 z 0 = z 3m + xz m . Óðàâ-
íåíèå áóäåò îäíîðîäíûì, åñëè 2 + m − 1 = 3m = m + 1. Ýòè ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ
                                                                         1
îäíîâðåìåííî, åñëè m = 21 . Äåëàåì çàìåíó y = z 2 :
                                                       1             3           1
                                          x2 z − 2 z 0 = z 2 + xz 2 .
                                               1
Óìíîæàåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà               z2
                                              x2
                                                   :
                                                            z 2        z 
                                               0
                                              z =                    +           .
                                                            x                x
Ïîëó÷èëè îäíîðîäíîå óðàâíåíèå. Äåëàåì çàìåíó z = xu; z 0 = u + xu0 :
                                                   du    dx                  1
                                 xu0 = u2 ,          2
                                                       =    ,                  = − ln |Cx|.
                                                   u     x                   u
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  u = 0. Âîçâðàùàåìñÿ ê ôóíêöèè y(x):

                                        x = −y 2 ln |Cx|,                     y = 0.

  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  24.    x3 (y 0 − x) = y 2 .
  25.    y0 = y2 −   2
                     x2
                        .
  26.    xdy + y(3xy + 1)dx = 0.
         y 2 x − y 2 x2 = 2xy 0 + y .
            p
  27.

  Îòâåòû: 24.         x2 = (x2 − y) ln Cx.    25.      1 − xy = Cx3 (2 + xy).             26.   y = x−1 ln−1 Cx3 , x = 0,
y = 0.         2 (1/xy 2 ) − 1 = − ln Cx, y = 0, xy 2 = 1.
                p
         27.

Страницы