Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
1
b
2
− a
2
b
1
= 0.
a
1
a
2
=
b
1
b
2
= λ.
y
0
= f
λ(a
2
x + b
2
y) + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2
z = a
2
x + b
2
y
y
0
=
4y −2x −6
x + y −3
.
4y
0
− 2x
0
− 6 = 0,
x
0
+ y
0
− 3 = 0.
y
0
= 2 x
0
= 1 y = y
0
+Y = 2+Y x = x
0
+X = 1+X
Y
0
=
4Y − 2X
X + Y
=
4
Y
X
− 2
1 +
Y
X
.
Z = Y/X
Z + XZ
0
=
4Z − 2
1 + Z
⇒ −XZ
0
=
Z
2
− 3Z + 2
1 + Z
.
−
dX
X
=
(1 + Z)dZ
Z
2
− 3Z + 2
⇒ −
dX
X
=
(1 + Z)dZ
(Z − 2)(Z − 1)
.
1 + Z
(Z − 2)(Z − 1)
=
A
Z − 2
+
B
Z − 1
=
A(Z − 1) + B(Z − 2)
(Z − 2)(Z − 1)
⇒
⇒ 1 + Z = A(Z − 1) + B(Z − 2).
A B
Z
0
1 = −A − 2B,
Z
1
1 = A + B.
                                                  11


Ýòî îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.
   Åñëè òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ íå ñóùåñòâóåò, òî ñèñòåìà (2.4) íå èìååò ðåøåíèÿ:

                                          a1 b2 − a2 b1 = 0.                   (2.5)

Òîãäà
                                           a1   b1
                                              =    = λ.
                                           a2   b2
Îòñþäà óðàâíåíèå(2.4) ïðèíèìàåò âèä
                                                       
                             0      λ(a2 x + b2 y) + c1
                            y =f
                                     a2 x + b 2 y + c 2
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ïóòåì
çàìåíû z = a2 x + b2 y .
Ïðèìåð   4. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                4y − 2x − 6
                                         y0 =               .
                                                 x+y−3
   Ðåøåíèå.   Íàõîäèì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ èç ñèñòåìû
                                 
                                  4y − 2x − 6 = 0,
                                      0     0
                                  x + y − 3 = 0.
                                            0     0

Îòñþäà y0 = 2, x0 = 1. Äåëàåì çàìåíó y = y0 +Y = 2+Y , x = x0 +X = 1+X , ïîäñòàâëÿåì
â èñõîäíîå óðàâíåíèå
                                                  Y
                                                    
                                    0 4Y − 2X   4 X   −2
                                  Y =         =       Y
                                                         .
                                       X +Y      1+ X
Ïîëó÷èëè îäíîðîäíîå óðàâíåíèå. Ââîäèì íîâóþ ôóíêöèþ Z = Y /X :
                                        4Z − 2           Z 2 − 3Z + 2
                           Z + XZ 0 =          ⇒ −XZ 0 =              .
                                         1+Z                 1+Z
Ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ:
                           dX   (1 + Z)dZ    dX     (1 + Z)dZ
                       −      = 2         ⇒−    =                .
                           X   Z − 3Z + 2    X    (Z − 2)(Z − 1)
   Ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà ïðîñòûå äðîáè:
                     1+Z            A    B    A(Z − 1) + B(Z − 2)
                                =     +     =                     ⇒
                 (Z − 2)(Z − 1)   Z −2 Z −1     (Z − 2)(Z − 1)
                                ⇒ 1 + Z = A(Z − 1) + B(Z − 2).
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ íà A è B :

                                    ïðè Z 0 :    1 = −A − 2B,
                                    ïðè Z 1 :    1 = A + B.

Страницы