Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 10 стр.

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КФУ | Казань

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Рубрика: 

x
y
0
−
y
x
= (1 +
y
x
) ln
1 +
y
x
.
y = zx y
0
= z + xz
0
z
0
x = (1 + z) ln |1 + z|.
dz
(1 + z) ln |1 + z|
=
dx
x
;
d ln |1 + z|
ln |1 + z|
=
dx
x
; ln |1 + z| = Cx.
ln
1 +
y
x
= Cx.
y
0
= 3
y
3
x
3
+
y
x
y
0
= e
y
x
+
y
x
(x
2
− 3y
2
)dx + 2xydy = 0, y(2) = 1
xy
0
= 2
p
3x
2
+ y
2
+ y
y
0
=
x+2y
2x−y
x = Ce
−
x
2
6y
2
y = 0 y = −ln ln
C
x
y = x
q
1 −
3
8
x y+
p
3x
2
+ y
2
=
Cx
3
x
2
+ y
2
= Ce
4 a rctg
y
x
y
0
= f
a
1
x+b
1
y+c
1
a
2
x+b
2
y+c
2
a
1
x+b
1
y+c
1
= 0 a
2
x+b
2
y+c
2
= 0 (x
0
; y
0
)
a
1
x + b
1
y + c
1
= 0,
a
2
x + b
2
y + c
2
= 0.
X Y
x = x
0
+ X, dx = dX;
y = y
0
+ Y, dy = dY.
Y
0
= f
a
1
X + b
1
Y
a
2
X + b
2
Y
= f
a
1
+ b
1
Y
X
a
2
+ b
2
Y
X
!
= f
1
Y
X
.
                                                                     10


   Ðåøåíèå.       Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà x:
                                                           y       y        y
                                                    y0 −     = (1 + ) ln 1 + .
                                                           x       x        x
Äåëàåì çàìåíó y = zx, y 0 = z + xz 0 ; óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

                                                       z 0 x = (1 + z) ln |1 + z|.

Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóåì:
                                dz            dx                d ln |1 + z|   dx
                                            =    ;                           =    ;         ln |1 + z| = Cx.
                         (1 + z) ln |1 + z|   x                  ln |1 + z|    x
Ïåðåõîäèì ê ñòàðîé ôóíêöèè:
                                                                     y
                                                           ln 1 +      = Cx.
                                                                     x
Ïîòåðÿííûõ ðåøåíèé íåò.
   Íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:
                     3
   15.   y 0 = 3 xy 3 + xy .
                 y
   16.   y 0 = e x + xy .
   17.   (x2 − 3y 2 )dx + 2xydy = 0, y(2) = 1.
         xy 0 = 2 3x2 + y 2 + y .
                 p
   18.

   19.   y0 =   x+2y
                2x−y
                     .
                                         x2
                                                                                              q
                                     −
                                                , y = 0. 16. y = − ln ln Cx . 17. y = x           1 − 38 x. 18.y+
                                                                                                                    p
   Îòâåòû: 15.           x = Ce          6y 2                                                                        3x2 + y 2 =
                                            y
Cx3 .   19.   x2 + y 2 = Ce4 arctg .        x



                                                                                                         
                               2.2         Óðàâíåíèÿ âèäà y = f              0             a1 x+b1 y+c1
                                                                                           a2 x+b2 y+c2

Ýòè óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê îäíîðîäíîìó ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ a1 x+b1 y+c1 = 0 è a2 x+b2 y+c2 = 0. Òî÷êó ïðåñå÷åíèÿ (x0 ; y0 ) íàõîäèì
èç ñèñòåìû:
                                                       
                                                        a x + b y + c = 0,
                                                          1     1     1
                                                                                                                           (2.4)
                                                        a x + b y + c = 0.
                                                          2     2     2

Çàòåì ââîäèì íîâûå ïåðåìåííûå X è Y :

                                                      x = x0 + X,         dx = dX;
                                                        y = y0 + Y,       dy = dY.

Ïîäñòàâëÿåì                                                                            !
                                                                                 Y                     
                                0                a1 X + b 1 Y             a1 + b 1 X                  Y
                               Y =f                                 =f             Y
                                                                                           = f1               .
                                                 a2 X + b 2 Y             a2 + b 2 X                  X

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