Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
=
2xy
x
2
− y
2
.
x
2
y
0
=
2
y
x
1 −
y
x
2
,
y = zx y
0
= z + xz
0
z + xz
0
=
2z
1 − z
2
, xz
0
=
z + z
3
1 − z
2
.
dx
x
+
(z
2
− 1)dz
z(1 + z
2
)
= 0.
z
2
− 1
z(1 + z
2
)
=
Az
1 + z
2
+
B
1 + z
2
+
C
z
=
(A + C)z
2
+ Bz + C
z(1 + z
2
)
⇒
⇒ z
2
− 1 = (A + C)z
2
+ Bz + C.
A B
C
z
0
− 1 = C,
z
1
0 = B,
z
2
1 = A + C.
A = 2 B = 0 C = −1
z
2
− 1
z(1 + z
2
)
=
2z
1 + z
2
−
1
z
⇒
dx
x
+
2z
1 + z
2
−
1
z
dz = 0.
ln |x| + ln(z
2
+ 1) − ln |z| = ln |C| ⇒
x(z
2
+ 1)
z
= C.
z = 0 y
x
2
+ y
2
= Cy, y = 0.
xy
0
− y = (x + y) ln
x + y
x
.
                                                     9


Ïðèìåð    2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:
                                                      2xy
                                             y0 =           .
                                                     x2− y2
     Ðåøåíèå.   Äåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà x2 :
                                             2 xy
                                                  
                                       0
                                      y =          2 ,
                                           1 − xy
óðàâíåíèå îäíîðîäíî. Äåëàåì çàìåíó y = zx, y 0 = z + xz 0 ; óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
                                            2z                         z + z3
                             z + xz 0 =          ,    èëè     xz 0 =          .
                                          1 − z2                       1 − z2
Ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ:
                                 dx (z 2 − 1)dz
                                   +              = 0.
                                 x    z(1 + z 2 )
Ðàçëàãàåì âòîðîå ñëàãàåìîå íà ïðîñòûå äðîáè:
                   z2 − 1         Az     B     C  (A + C)z 2 + Bz + C
                              =       +       + =                     ⇒
                  z(1 + z 2 )   1 + z2 1 + z2  z       z(1 + z 2 )
                                ⇒ z 2 − 1 = (A + C)z 2 + Bz + C.
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ íà A, B è
C:

                                       ïðè z 0 :      − 1 = C,
                                       ïðè z 1 :     0 = B,
                                       ïðè z 2 :     1 = A + C.

Îòñþäà A = 2, B = 0 è C = −1:
                      z2 − 1
                                                                            
                                  2z    1  dx                    2z     1
                            2
                               =     2
                                       − ⇒    +                     2
                                                                      −           dz = 0.
                     z(1 + z )   1+z    z  x                    1+z     z
Èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè:
                                                                     x(z 2 + 1)
                      ln |x| + ln(z 2 + 1) − ln |z| = ln |C| ⇒                  = C.
                                                                          z
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  z = 0. Ïåðåõîäèì ê ïåðåìåííîé y :

                                      x2 + y 2 = Cy,        y = 0.

Ïðèìåð    3. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                                x+y
                                   xy 0 − y = (x + y) ln            .
                                                                 x

Страницы