Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= f(ax + by + c)
z(x) = ax + by + c ⇒ y
0
=
z
0
− a
b
⇒
z
0
− a
b
= f(z).
y
0
= cos(y − x).
z = y − x y
0
= 1 + z
0
z
0
= cos z − 1.
dz
cos z −1
= dx; −
d
z
2
sin
2
(
z
2
)
= dx.
ctg
z
2
= x + C.
cos z −1 = 0.
z
z = 2πk, k = ±0, ±1 . . .
ctg
y −x
2
= x + C; y −x = 2πk.
y
0
= (3x − y + 1)
2
y
0
= (x + y)
2
y
0
=
√
4x + 2y −1
y
0
= −tg
2
(x − y)
3x − y + 1 +
√
3 = C(3x − y + 1 −
√
3)e
2
√
3x
y = tg(x + C) − x
√
4x + 2y −1 −2 ln(2 +
√
4x + 2y −1) = x + C y =
1
2
sin 2(x − y) − x + C
                                                      7


                      1.2       Óðàâíåíèÿ âèäà y 0 = f (ax + by + c)
Ýòè óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè çàìåíîé
                                                          z0 − a   z0 − a
                       z(x) = ax + by + c ⇒ y 0 =                ⇒        = f (z).
                                                             b        b
Ïðèìåð    2. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                          y 0 = cos(y − x).

  Ðåøåíèå.     Äåëàåì çàìåíó z = y − x; íàõîäèì y 0 = 1 + z 0 .
Ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíîå óðàâíåíèå:

                                           z 0 = cos z − 1.                          (1.7)

Ïðèâîäèì óðàâíåíèå ê âèäó (1.2)

                                                            d z2
                                                                 
                                     dz
                                            = dx;         − 2 z = dx.
                                  cos z − 1                sin ( 2 )
Èíòåãðèðóåì:                                   z 
                                         ctg          = x + C.
                                                2
Âîçìîæíûå ïîòåðÿííûå ðåøåíèÿ:

                                           cos z − 1 = 0.

Ðàçðåøàåì îòíîñèòåëüíî z :

                                    z = 2πk, ãäå k = ±0, ±1 . . .                    (1.8)

Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé (1.8) â (1.7) óáåæäàåìñÿ, ÷òî (1.8) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì.
Ïåðåõîäèì ê ñòàðûì ïåðåìåííûì:
                                
                             y−x
                       ctg         = x + C;                   y − x = 2πk.
                              2
  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  11.   y 0 = (3x − y + 1)2 .
  12.   y 0 = (x + y)2 .
              √
  13.   y 0 = 4x + 2y − 1.
  14.   y 0 = − tg2 (x − y).
                             √                       √      √
  Îòâåòû: 11.    3x − y + 1 + 3 = C(3x − y + 1 − 3)e2 3x . 12. y = tg(x + C) − x.     13.
√                       √
  4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + 4x + 2y − 1) = x + C . 14. y = 21 sin 2(x − y) − x + C .

Страницы