Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= f(x)g(y),
F (x)dx = P (y)dy,
N(y)M(x)dx = P (x)Q(y)dy.
N(y)P (x)
M(x)
P (x)
dx =
Q(y)
N(y)
dy.
Z
M(x)
P (x)
dx =
Z
Q(y)
N(y)
dy + C.
N(y) = 0, P (x) = 0,
y(x
0
) = y
0
C
x = x
0
y = y
0
(x
2
− 1)y
0
+ 2xy
2
= 0,
     Ãëàâà 1.           Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ

                 ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè




           1.1     Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
Îïðåäåëåíèå   1.1. Óðàâíåíèÿ âèäà:

                                          y 0 = f (x)g(y),                      (1.1)

                                        F (x)dx = P (y)dy,                      (1.2)
                                 N (y)M (x)dx = P (x)Q(y)dy.                    (1.3)
íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
  Óðàâíåíèÿ âèäà (1.3) ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèþ âèäà (1.2) ïóòåì äåëåíèÿ îáåèõ åãî ÷àñòåé
íà ôóíêöèþ N (y)P (x)

                                M (x)       Q(y)
                                       dx =       dy.                           (1.4)
                                 P (x)      N (y)
                           Z              Z
                             M (x)          Q(y)
                                    dx =          dy + C.                       (1.5)
                              P (x)         N (y)
  Ïðè äåëåíèè ìîãóò áûòü ïîòåðÿíû ðåøåíèÿ

                                    N (y) = 0,     P (x) = 0,

êîòîðûå ïðîâåðÿþòñÿ ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå (1.3). Ïîòåðÿííûå ðåøåíèÿ ìî-
ãóò âõîäèòü â îáùåå ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå îíè îòäåëüíî íå âûïèñûâàþòñÿ.
  Åñëè çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ y(x0 ) = y0 , òî êîíñòàíòà C îïðåäåëÿåòñÿ èç îáùåãî
èíòåãðàëà (1.5) ïðè x = x0 , y = y0 .
Ïðèìåð   1. Íàéòè îáùåå è ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                    (x2 − 1)y 0 + 2xy 2 = 0,

óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ y(0)=1.

Страницы