Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

−(x
2
− 1)
dy
dx
= 2xy
2
⇒ −(x
2
− 1)dy = 2xy
2
dx.
(x
2
− 1)y
2
−
dy
y
2
=
2xdx
x
2
− 1
.
−
Z
1
y
2
dy =
Z
2x
x
2
− 1
dx;
1
y
= ln |x
2
− 1| + C.
(x
2
− 1)y = 0 ⇒ y = 0, x = ±1.
y = 0
y(0) = 1
1 = ln |0 − 1| + C ⇒ C = 1.
1
y
= ln |x
2
− 1| + 1.
(x
2
+ 1)dx + (y
2
+ 1)dy = 0
(e
x
+ 2)dy −ydx = 0
2(x
2
y −y)dy +
p
3 + y
2
dx = 0
tg x sin
2
ydx + cos
2
x ctg ydy = 0
(x − 1)y
0
= y
2
x
(cos 2x − 1)y
0
= y
2
− 1
e
2x−y
dx = e
6x+y
dy
y
0
ctg x + y = 2, y(0) = −1
y
0
sin x = y ln y, y
π
2
= 1
2xdx − ydy = yx
2
dy −xy
2
dx, y(0) = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x + y) = C y = C(1 + 2e
−x
)
−1/2
4
p
3 + y
2
= ln
C(x+1)
x−1
x = ±1 ctg
2
y = tg
2
x + C. −1/y = x + ln |x − 1| + C y = 0
y−1
y+1
= Ce
ctg x
y = −1
e
2y
+ e
−4x
/2 = C y = −3 cos x + 2 y = 1 3(1 + x
2
) = 2 + y
2
                                                              6


           Ïðèâîäèì óðàâíåíèå ê âèäó (1.3):
     Ðåøåíèå.
                              dy
                    −(x2 − 1)     = 2xy 2 ⇒ −(x2 − 1)dy = 2xy 2 dx.
                              dx
Äåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà (x2 − 1)y 2 :
                                         dy    2xdx
                                     − 2 = 2         .
                                         y    x −1
Ïåðåìåííûå ðàçäåëåíû. Èíòåãðèðóåì è ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå:
                                 Z            Z
                                     1             2x
                              −        2
                                         dy =     2
                                                        dx;
                                     y           x −1
                                   1
                                     = ln |x2 − 1| + C.                                                           (1.6)
                                   y
Âîçìîæíûå ïîòåðÿííûå ðåøåíèÿ:
                                          (x2 − 1)y = 0 ⇒ y = 0, x = ±1.
Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå óáåäèìñÿ, ÷òî y = 0 ÿâëÿåòñÿ ïî-
òåðÿííûì ðåøåíèåì.
     Ïîäñòàâëÿåì íà÷àëüíîå óñëîâèå y(0) = 1 â îáùåå ðåøåíèå (1.6), ïîëó÷èì óðàâíåíèå íà
Ñ:
                                            1 = ln |0 − 1| + C ⇒ C = 1.
Îòñþäà ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä
                                                  1
                                                    = ln |x2 − 1| + 1.
                                                  y
     Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

     1.   (x2 + 1)dx + (y 2 + 1)dy = 0.
     2.   (ex + 2)dy − ydx = 0.
          2(x2 y − y)dy + 3 + y 2 dx = 0.
                         p
     3.

     4.   tg x sin2 ydx + cos2 x ctg ydy = 0.
     5.   (x − 1)y 0 = y 2 x.
     6.   (cos 2x − 1)y 0 = y 2 − 1.
     7.   e2x−y dx = e6x+y dy .
     Íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì óðàâíå-

íèé:

     8.   y 0 ctg x + y = 2,        y(0) = −1.
           0
                                    y π2 = 1.
                                        
     9.   y sin x = y ln y,
     10.   2xdx − ydy = yx2 dy − xy 2 dx,           y(0) = 1.
                                                                                                               C(x+1)
                        x + y + 3(x + y) = C .               y = C(1 + 2e−x )−1/2 .                                     ,
                                                                                              p
                          3     3
     Îòâåòû: 1.                                         2.                              3.   4 3 + y 2 = ln     x−1
x = ±1.        4.   ctg2 y = tg2 x + C.   5.   −1/y = x + ln |x − 1| + C , y = 0.        6.
                                                                                              y−1
                                                                                              y+1
                                                                                                    = Cectg x , y = −1.
7.   e2y + e−4x /2 = C .      8.    y = −3 cos x + 2.   9.   y = 1.   10.   3(1 + x2 ) = 2 + y .
                                                                                               2

Страницы