Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y) n
k > 0 F (kx, ky) = k
n
F (x, y)
y
0
= f
y
x
,
F (x, y)dx = P (x, y)dy,
F (x, y) P (x, y)
y = xz(x) y
0
= xz
0
+ z dy = xdz + zdx
(x − y)ydx − x
2
dy = 0.
F (x, y) = (x − y)y P (x, y) = x
2
F (kx, ky) = (kx − ky)ky = k
2
(x − y)y = k
2
F (x, y),
P (kx, ky) = (kx)
2
= k
2
x
2
= k
2
P (x, y).
F (x, y) = (x−y)y P (x, y) = x
2
2
y = zx dy = zdx + xdz
x
3
dz = −z
2
x
2
dx ⇒ −
dz
z
2
=
dx
x
⇒
1
z
= ln |x| + C
y
x
y
= ln |x| + C.
x = 0 y = 0
            Ãëàâà 2.             Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ è

                  ïðèâîäÿùèåñÿ ê îäíîðîäíûì




                           2.1    Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ
Îïðåäåëåíèå   2.1. Ôóíêöèÿ F (x, y) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè n, åñëè äëÿ
âñåõ k > 0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F (kx, ky) = k n F (x, y).
Îïðåäåëåíèå   2.2. Îäíîðîäíûìè óðàâíåíèÿìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà
                                             y
                                      y0 = f      ,                                (2.1)
                                              x
                                F (x, y)dx = P (x, y)dy,                           (2.2)
ãäå F (x, y) è P (x, y)  îäíîðîäíûå ôóíêöèè îäíîé è òîé æå ñòåïåíè.
  Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè çàìå-
íîé y = xz(x), y 0 = xz 0 + z èëè dy = xdz + zdx.
Ïðèìåð   1. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                    (x − y)ydx − x2 dy = 0.                        (2.3)

  Ðåøåíèå.    Âûÿñíèì, ÿâëÿåòñÿ ëè óðàâíåíèå îäíîðîäíûì. Ñðàâíèì ñòåïåíè îäíîðîäíî-
ñòè ôóíêöèé F (x, y) = (x − y)y è P (x, y) = x2 :

                     F (kx, ky) = (kx − ky)ky = k 2 (x − y)y = k 2 F (x, y),

                           P (kx, ky) = (kx)2 = k 2 x2 = k 2 P (x, y).
Ôóíêöèè F (x, y) = (x−y)y è P (x, y) = x2 - îäíîðîäíûå ôóíêöèè ñòåïåíè 2, ñëåäîâàòåëüíî,
óðàâíåíèå (2.3) îäíîðîäíîå. Ïîëàãàåì y = zx. Òîãäà dy = zdx + xdz . Ïîäñòàâëÿåì â
óðàâíåíèå
                                               dz    dx  1
                      x3 dz = −z 2 x2 dx ⇒ −     2
                                                   =    ⇒ = ln |x| + C
                                               z     x   z
Ïåðåõîäèì ê ïåðåìåííîé y :
                                        x
                                          = ln |x| + C.
                                        y
Ïîòåðÿííûå ðåøåíèÿ  x = 0, y = 0.

Страницы