Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A = 3 B = −2
1 + Z
(Z − 2)(Z −1)
=
3
Z − 2
−
2
Z − 1
⇒ −
dX
X
=
3dZ
Z − 2
−
2dZ
Z − 1
.
ln |C| − ln |X| = 3 ln |Z − 2| − 2 ln |Z − 1| ⇒ (Z − 2)
3
X = (Z − 1)
2
C.
Z = 1
(y −2x)
3
= (y −x −1)
2
C, y = x + 1.
(4y −2x + 1)dx −(2y − x + 2)dy = 0.
y
0
=
4y −2x + 1
2y −x + 2
.
a
1
b
2
− a
2
b
1
= 4 · (−1) − 2 · (−2) = 0.
a
1
a
2
=
b
1
b
2
= 2.
y
0
=
2(2y −x) + 1
2y −x + 2
.
z = 2y − x
z
0
=
3z
z + 2
⇒ 3dx =
(z + 2)dz
z
.
z
2
= Ce
3x−z
, (2y − x)
2
= Ce
4x−2y
.
(2x − y + 4)dy + (x − 2y + 5)dx = 0
y
0
=
x+2y−3
x−1
y
0
=
1−3x−3y
1+x+y
(x − 2y + 1)dy + (2x − 4y + 5)dx = 0
(x+y−1)
3
= C(x−y+3) y = C(x−1)
2
−x+2 3x+y+2 ln |x+y−1| =
C (5x + 10y + 11)
3
= Ce
−5(y+2x)
                                                       12


Îòñþäà A = 3 è B = −2:
                           1+Z            3    2     dX    3dZ   2dZ
                                      =     −     ⇒−    =      −     .
                       (Z − 2)(Z − 1)   Z −2 Z −1    X    Z −2 Z −1
     Èíòåãðèðóåì:

                  ln |C| − ln |X| = 3 ln |Z − 2| − 2 ln |Z − 1| ⇒ (Z − 2)3 X = (Z − 1)2 C.

Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  Z = 1. Ïåðåõîäèì ê ñòàðûì ïåðåìåííûì:

                                 (y − 2x)3 = (y − x − 1)2 C,        y = x + 1.

Ïðèìåð      5. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                  (4y − 2x + 1)dx − (2y − x + 2)dy = 0.

     Ðåøåíèå.      Ïðèâîäèì óðàâíåíèå ê âèäó
                                                    4y − 2x + 1
                                             y0 =               .
                                                    2y − x + 2
Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2.5):

                                  a1 b2 − a2 b1 = 4 · (−1) − 2 · (−2) = 0.

Òîãäà
                                                a1   b1
                                                   =    = 2.
                                                a2   b2
Óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
                                                    2(2y − x) + 1
                                            y0 =                  .
                                                     2y − x + 2
Äåëàåì çàìåíó z = 2y − x:
                                             3z         (z + 2)dz
                                     z0 =       ⇒ 3dx =           .
                                            z+2             z
Èíòåãðèðóåì è ïåðåõîäèì ê ñòàðûì ïåðåìåííûì:

                                   z 2 = Ce3x−z ,     (2y − x)2 = Ce4x−2y .

     Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

     20.   (2x − y + 4)dy + (x − 2y + 5)dx = 0.
     21.   y0 =   x+2y−3
                    x−1
                         .
     22.   y0 =   1−3x−3y
                   1+x+y
                           .
     23.   (x − 2y + 1)dy + (2x − 4y + 5)dx = 0.
     Îòâåòû: 20.        (x+y−1)3 = C(x−y+3). 21. y = C(x−1)2 −x+2. 22. 3x+y+2 ln |x+y−1| =
C.   23.   (5x + 10y + 11)3 = Ce−5(y+2x) .

Страницы