Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
+ a(x)y = b(x)
b(x) = 0
y
0
+ a(x)y = 0
dy
y
= −a(x)dx, ln |y| = −
Z
a(x) dx, y = Ce
−
R
a(x) dx
.
y = C(x)e
−
R
a(x) dx
,
C C(x)
dC(x)
dx
e
−
R
a(x) dx
− C(x)a(x)e
−
R
a(x) dx
+ C(x)a(x)e
−
R
a(x) dx
= b(x),
dC(x)
dx
= b(x)e
R
a(x) dx
.
C(x) =
Z
b(x)e
R
a(x) dx
dx + C
0
,
C
0
y = e
−
R
a(x) dx
C
0
+
Z
b(x)e
R
a(x) dx
dx
.
Ãëàâà 3.           Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà




                             3.1    Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ
Îïðåäåëåíèå    3.1. Óðàâíåíèÿ âèäà

                                       y 0 + a(x)y = b(x)                                        (3.1)

  íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûìè.
  Ïðè b(x) = 0 óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä

                                         y 0 + a(x)y = 0                                         (3.2)

è íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì. Îäíîðîäíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå (3.2) èí-
òåãðèðóåòñÿ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
                                         Z
                 dy                                                            R
                    = −a(x)dx, ln |y| = − a(x) dx,                   y = Ce−       a(x) dx
                                                                                             .   (3.3)
                 y
Èíòåãðèðîâàòü ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (3.1) ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè.
  1.Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé.             Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(3.1) â âèäå
                                                   R
                                      y = C(x)e−       a(x) dx
                                                                 ,                               (3.4)
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (3.3) çàìåíîé C íà íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ C(x). Ïîäñòàâëÿåì âû-
ðàæåíèå (3.4) â óðàâíåíèå (3.1):
               dC(x) − R a(x) dx             R                    R
                    e            − C(x)a(x)e− a(x) dx + C(x)a(x)e− a(x) dx = b(x),
                dx
                                      dC(x)          R
                                            = b(x)e a(x) dx .
                                        dx
Îòñþäà                                   Z      R
                                  C(x) = b(x)e a(x) dx dx + C0 ,
ãäå C0 - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïîäñòàâëÿåì â ôîðìóëó (3.4), ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå
ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.1):
                             R
                                          Z     R
                                                             
                           − a(x) dx               a(x) dx
                       y=e             C0 + b(x)e          dx .

Страницы