Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z = C(x)x
2
.
dC(x)
dx
=
1
2x
⇒ C(x) =
1
2
ln |x| + C
0
.
z = x
2
(C
0
+
1
2
ln |x|) y = x
4
(C
0
+
1
2
ln |x|)
2
.
y = 0.
y(x) = u(x)v(x).
u
0
v + (v
0
+ a(x)v)u = u
n
v
n
b(x).
v v
0
+
a(x)v = 0 u(x)
u
0
= u
n
v
n−1
b(x).
y
0
+ 2y = y
2
e
x
.
y = uv
u
0
v + (v
0
+ 2v)u = u
2
v
2
e
x
.
v
0
+ 2v = 0
dv
v
= −2dx ⇒ v(x) = Ce
−2x
.
v(x) = e
−2x
y = ue
−2x
u
0
e
−2x
= u
2
e
−3x
⇒
du
u
2
= e
−x
dx ⇒
1
u
= e
−x
+ C ⇒ u = (e
−x
+ C)
−1
.
y = ue
−2x
= (e
x
+ Ce
2x
)
−1
y = 0.
y
0
+
y
x
= −xy
2
8xy
0
− 12y = −(5x
2
+ 3)y
3
2y
0
+ y cos x = y
−1
cos x.
3xdy = y(1 + x sin x − 3y
3
sin x)dx
y = (x
2
+ Cx)
−1
y = 0 y
−2
=
5x
2
28
+
1
4
+
C
x
3/2
y = 0 y
2
= 1 + Ce
−sin x
y
3
(3 + Ce
cos x
) = x y = 0
                                                          19


Ïðèìåíÿåì ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé:

                                                    z = C(x)x2 .

Ïîäñòàâëÿåì â íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå è ïîëó÷àåì
                                     dC(x)    1         1
                                           =    ⇒ C(x) = ln |x| + C0 .
                                      dx     2x         2
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                               1                       1
                                z = x2 (C0 +     ln |x|) è y = x4 (C0 + ln |x|)2 .
                                               2                       2
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  y = 0.
  Âòîðîé ñïîñîá ðåøåíèå.                  Ïîëîæèì,

                                                 y(x) = u(x)v(x).                                              (3.10)

Òîãäà óðàâíåíèå (3.9) ïðèìåò âèä

                                        u0 v + (v 0 + a(x)v)u = un v n b(x).

Âîçüìåì â êà÷åñòâå v â ôîðìóëå (3.10) êàêîå - íèáóäü ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ v 0 +
a(x)v = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè äëÿ u(x) :

                                                  u0 = un v n−1 b(x).

Ïðèìåð     7. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                                  y 0 + 2y = y 2 ex .

  Ðåøåíèå.          Äåëàåì â óðàâíåíèè çàìåíó y = uv , íàõîäèì:

                                           u0 v + (v 0 + 2v)u = u2 v 2 ex .

Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ v 0 + 2v = 0:
                            dv
                               = −2dx ⇒ v(x) = Ce−2x .
                            v
Âûáèðàåì ÷àñòíîå ðåøåíèå v(x) = e−2x . Ïîäñòàâëÿåì y = ue−2x â èñõîäíîå óðàâíåíèå:
                            du             1
                u0 e−2x = u2 e−3x ⇒
                              2
                                = e−x dx ⇒ = e−x + C ⇒ u = (e−x + C)−1 .
                            u              u
Îòñþäà îáùåå ðåøåíèå y = ue −2x
                                = (e + Ce ) . Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  y = 0.
                                    x     2x −1

  Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  38.    y0 +   y
                x
                    = −xy 2 .
  39.    8xy 0 − 12y = −(5x2 + 3)y 3 .
  40.    2y 0 + y cos x = y −1 cos x.
  41.    3xdy = y(1 + x sin x − 3y 3 sin x)dx.
                                                                  5x2
  Îòâåòû: 38.          y = (x2 + Cx)−1 , y = 0. 39. y −2 =         28
                                                                        + 14 + x3/2
                                                                                C
                                                                                    , y = 0. 40. y 2 = 1 + Ce− sin x .
41.   y 3 (3 + Cecos x ) = x, y = 0.

Страницы