Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
1
y = y
1
+
1
z
z y =
y
1
+ z
xy
0
− y
2
= −(2x + 1)y + x
2
+ 2x.
y
1
= ax + b
ax = a
2
x
2
+ 2abx + b
2
− (2x + 1)(ax + b) + x
2
+ 2x,
ax = (a
2
− 2a + 1)x
2
+ (2ab − 2b − a + 2)x − b.
a b
x
0
0 = −b,
x
1
a = 2ab − 2b − a + 2,
x
2
0 = a
2
− 2a + 1.
a = 1 b = 0 ⇒ y
1
= x
y = x +
1
z
xz
0
= z −1 ⇒
dz
z −1
=
dx
x
⇒ z = 1 + Cx.
z − 1 = 0 C = 0
y(x)
y = x +
1
1 + Cx
.
y
0
+ 2ye
x
− y
2
= e
2x
+ e
x
.
y
1
= be
x
be
x
+ 2be
2x
− b
2
e
2x
= e
2x
+ e
x
.
b
e
x
b = 1,
e
2x
2b − b
2
= 1.
                                               21


  Åñëè èçâåñòíî îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y1 óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè, òî ïîäñòàíîâêà y = y1 + z1 ,
ãäå z - íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèâîäèò ýòî óðàâíåíèå ê ëèíåéíîìó. Çàìåíîé y =
y1 + z óðàâíåíèå Ðèêêàòè ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåðíóëëè.
Ïðèìåð   10. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                              xy 0 − y 2 = −(2x + 1)y + x2 + 2x.

  Ðåøåíèå.     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä y1 = ax + b. Ïîäñòàâëÿåì åãî
â óðàâíåíèå:
                     ax = a2 x2 + 2abx + b2 − (2x + 1)(ax + b) + x2 + 2x,

                       ax = (a2 − 2a + 1)x2 + (2ab − 2b − a + 2)x − b.

Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ÷ëåíàõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ íà a è b:

                               ïðè x0 :    0 = −b,
                               ïðè x1 :    a = 2ab − 2b − a + 2,
                               ïðè x2 :    0 = a2 − 2a + 1.

Îòñþäà a = 1, b = 0 ⇒ y1 = x. Äåëàåì çàìåíó
                                                     1
                                           y =x+
                                                     z
â èñõîäíîì óðàâíåíèè
                                            dz   dx
                          xz 0 = z − 1 ⇒       =    ⇒ z = 1 + Cx.
                                           z−1   x
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå z − 1 = 0 ñëåäóåò èç îáùåãî ðåøåíèÿ ïðè C = 0. Âîçâðàùàåìñÿ ê
ôóíêöèè y(x):
                                                    1
                                       y =x+            .
                                                 1 + Cx
Ïðèìåð   11. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                  y 0 + 2yex − y 2 = e2x + ex .

  Ðåøåíèå.     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä y1 = bex . Ïîäñòàâëÿåì â óðàâ-
íåíèå:
                               bex + 2be2x − b2 e2x = e2x + ex .

  Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ÷ëåíàõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ íà b:

                                    ïðè ex :    b = 1,
                                   ïðè e2x :    2b − b2 = 1.

Страницы