Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
F (x, y)
M N
D x
y
∂M
∂y
≡
∂N
∂x
.
F (x, y)
dF (x.y) = F
0
x
dx+F
0
y
dy
F (x, y) = C
F (x, y)
∂F
∂x
= M,
∂F
∂y
= N.
x
F (x, y) =
Z
M(x, y)dx + ϕ(y),
                 Ãëàâà 4.         Óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ

äèôôåðåíöèàëàõ. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü




                4.1   Óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ
Îïðåäåëåíèå   4.1. Óðàâíåíèå

                                M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0                         (4.1)

íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, åñëè åãî ëåâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì
äèôôåðåíöèàëîì íåêîòîðîé ôóíêöèè F (x, y).
     Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèè M è N îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû â íåêîòîðîé îäíîñâÿç-
íîé îáëàñòè D è èìåþò â íåé íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâåííî ïî x
è y . Òîãäà äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå (4.1) áûëî óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü òîæäåñòâî
                                       ∂M   ∂N
                                          ≡    .                                    (4.2)
                                       ∂y   ∂x

                                  Ñïîñîáû ðåøåíèÿ


1.   ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (4.1), íàäî íàéòè ôóíêöèþ F (x, y), îò êîòîðîé ïîëíûé äèô-
ôåðåíöèàë dF (x.y) = Fx0 dx+Fy0 dy ðàâåí ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4.1). Òîãäà îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (4.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå F (x, y) = C , ãäå Ñ - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ôóíêöèÿ F (x, y) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå óðàâíåíèé:
                                   
                                    ∂F = M,
                                        ∂x
                                                                                    (4.3)
                                    ∂F = N.
                                           ∂y

Èíòåãðèðóÿ (÷àñòíûì îáðàçîì) ïî x ïåðâîå èç óðàâíåíèé (4.3), èìååì
                                    Z
                          F (x, y) = M (x, y)dx + ϕ(y),                             (4.4)

Страницы