Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Мухарлямов Р.К - 39 стр.

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ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = xy
02
− 2y
03
x = y
0
p
y
02
+ 1
yy
02
− 2xy
0
+ y = 0
2xy
0
− y = y
0
ln yy
0
y = Ce
x
y = Ce
−x
+ x − 1 (x
2
C
2
+ 1 − 2Cy)(x
2
+ C
2
− 2Cy) = 0
x
2
−y
2
= 0
y = xp
2
− 2p
3
,
x =
2p
3
−3p
2
+C
(1−p)
2
y = x −2 y = 0
y =
2(p
2
+1)
3/2
3
− (p
2
+ 1)
1/2
+ C,
x = p
p
p
2
+ 1.
y
2
+ C
2
= 2Cx x
2
− y
2
= 0
y
2
= 2Cx − C ln C 2x = 1 + 2 ln |y|
y = xϕ(y
0
) + ψ(y
0
)
y
0
= p
x
y = xϕ(p) + ψ(p) ⇒ pdx = ϕ(p)dx +
xϕ
0
p
(p) + ψ
0
p
(p)
dp ⇒
dx
dp
=
xϕ
0
p
(p) + ψ
0
p
(p)
p − ϕ(p)
p − ϕ(p) = 0
ϕ(y
0
) = y
0
y = xy
0
+ ψ(y
0
).
y = 2y
0
x + 1/y
0
.
y
0
= p y = 2px + 1/p dy pdx
pdx = 2pdx+2xdp−dp/p
2
dx/dp = −2p/x+1/p
3
.
x =
1
p
2
(ln p + C).
                                                  39


  58.   y = xy 02 − 2y 03 .
        x = y 0 y 02 + 1.
               p
  59.

  60.   yy 02 − 2xy 0 + y = 0.
  61.   2xy 0 − y = y 0 ln yy 0 .
  Îòâåòû: 56.    y = Cex ; y = Ce−x + x − 1. 57. (x2 C 2 + 1 − 2Cy)(x2 + C 2 − 2Cy) = 0;
                                   y = xp2 − 2p3 ,
îñîáûé èíòåãðàë x2 − y 2 = 0. 58.                   , y = x − 2; Îñîáîå ðåøåíèå y = 0. 59.
                                   x = 2p3 −3p2 +C
                                          (1−p)2
         2   3/2
 y = 2(p +1) − (p2 + 1)1/2 + C,
                                   60. y + C = 2Cx; îñîáûé èíòåãðàë x − y = 0. 61.
           3                            2    2                             2    2
 x = ppp2 + 1.
y 2 = 2Cx − C ln C ; îñîáûé èíòåãðàë 2x = 1 + 2 ln |y|.


                          5.3       Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è Êëåðî
Îïðåäåëåíèå      5.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà

                                         y = xϕ(y 0 ) + ψ(y 0 )                             (5.19)

íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèåì Ëàãðàíæà.
  Ïðè ïîìîùè ââåäåíèÿ ïàðàìåòðà y 0 = p óðàâíåíèå (5.19) ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó îòíî-
ñèòåëüíî x:
                                                               dx   xϕ0p (p) + ψp0 (p)
     y = xϕ(p) + ψ(p) ⇒ pdx = ϕ(p)dx + xϕ0p (p) + ψp0 (p) dp ⇒
                                                         
                                                                  =
                                                               dp      p − ϕ(p)
 ëèíåéíîå óðàâíåíèå. p − ϕ(p) = 0  ïîòåðÿííîå ðåøåíèå. Îñîáîå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ
îáû÷íûì ïðèåìîì.
Îïðåäåëåíèå      5.2. Åñëè â óðàâíåíèè (5.19) ϕ(y 0 ) = y 0 , òî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Êëåðî

                                          y = xy 0 + ψ(y 0 ).                               (5.20)

Ïðèìåð     12. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                          y = 2y 0 x + 1/y 0 .                              (5.21)

  Ðåøåíèå.      Ïîëàãàåì y 0 = p, òîãäà y = 2px + 1/p. Äèôôåðåíöèðóÿ è çàìåíÿÿ dy íà pdx,
ïîëó÷èì pdx = 2pdx+2xdp−dp/p2 èëè dx/dp = −2p/x+1/p3 . Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå, áóäåì
èìåòü
                                               1
                                         x=       (ln p + C).
                                               p2

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