Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
0
(x)y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + a
n−1
(x)y
0
+ a
n
(x)y = f(x)
y = C
1
(x)y
1
+ C
2
(x)y
2
+ . . . + C
n
(x)y
n
.
C
i
(x)
C
0
1
y
1
+ C
0
2
y
2
+ . . . + C
0
n
y
n
= 0,
C
0
1
y
0
1
+ C
0
2
y
0
2
+ . . . + C
0
n
y
0
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
0
1
y
(n−2)
1
+ C
0
2
y
(n−2)
2
+ . . . + C
0
n
y
(n−2)
n
= 0,
C
0
1
y
(n−1)
1
+ C
0
2
y
(n−1)
2
+ . . . + C
0
n
y
(n−1)
n
=
f(x)
a
0
(x)
.
x(x + 1)y
00
+ (x + 2)y
0
− y = 0,
y
1
= x + 2
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
= C
1
exp
−
Z
x + 2
x(x + 1)
dx
; y
1
y
0
2
− y
0
1
y
2
= C
1
exp
−
Z
2
x
−
1
x + 1
dx
.
y
2
1
y
2
/y
1
y
2
y
1
0
=
y
1
y
0
2
− y
0
1
y
2
y
2
1
=
C
1
exp
−
R
x+2
x(x+1)
dx
y
2
1
⇒
y
2
y
1
0
=
C
1
y
2
1
·
x + 1
x
2
.
y
1
= x + 2
y
2
y
1
= C
1
Z
x + 1
x
2
(x + 2)
2
dx + C
2
=
C
1
4
Z
1
x
2
−
1
(x + 2)
2
dx + C
2
=
=
C
1
4
−
1
x
+
1
(x + 2)
+ C
2
.
y
2
(x) = −
C
1
2x
+ C
2
(x + 2).
                                                      38


   Åñëè èçâåñòíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé (3.5) óðàâíåíèÿ (3.1), òî îáùåå ðå-
øåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

                     a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x)        (3.6)

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ. Îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâ-
íåíèÿ íàõîäèòñÿ â âèäå

                               y = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 + . . . + Cn (x)yn .

Ôóíêöèè Ci (x) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû
                    
                    
                    
                       C10 y1 + C20 y2 + . . . + Cn0 yn = 0,
                    
                    
                        C10 y10 + C20 y20 + . . . + Cn0 yn0 = 0,
                    
                    
                    
                    
                    
                        ..............................
                    
                             (n−2)         (n−2)                 (n−2)
                        C10 y1      + C20 y2       + . . . + Cn0 yn
                    
                    
                    
                                                                       = 0,
                    
                             (n−1)         (n−1)                 (n−1)
                     C0 y          + C20 y2       + . . . + Cn0 yn     = af0(x)
                    
                          1 1                                                 (x)
                                                                                  .

Ïðèìåð    1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                    x(x + 1)y 00 + (x + 2)y 0 − y = 0,                          (3.7)

åñëè èçâåñòíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y1 = x + 2.
   Ðåøåíèå.    Ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ (3.3)
                       Z                                                        Z         
    y1 y2                       x+2                                                    2   1
              = C1 exp −                dx ;       y1 y20   −   y10 y2   = C1 exp −      −    dx .
    y10 y20                    x(x + 1)                                                x x+1

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà y12 , ïîëó÷èì ñëåâà ïðîèçâîäíóþ îò äðîáè y2 /y1
                                           R             
                                                 x+2
           0
            y2         0    0
                   y1 y2 − y1 y2   C1 exp  −    x(x+1)
                                                       dx      0
                                                               y2   C1 x + 1
                 =        2
                                 =            2
                                                            ⇒      = 2 ·     .
            y1           y1                  y1                y1   y1   x2
Òàê êàê y1 = x + 2, òî
                     Z                          Z              
            y2            x+1                C1     1        1
               = C1                dx + C2 =           −          dx + C2 =
            y1         x2 (x + 2)2           4      x2 (x + 2)2
                                                  
                                   C1    1      1
                               =        − +           + C2 .
                                   4     x (x + 2)
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.7) èìååò âèä
                                                    C1
                                       y2 (x) = −      + C2 (x + 2).
                                                    2x

Страницы