Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
0
(x)y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + a
n−1
(x)y
0
+ a
n
(x)y = 0
y
1
(x)
y = y
1
z
z
0
= u
a
0
(x)y
00
+ a
1
(x)y
0
+ a
2
(x)y = 0
y
1
y
2
y
0
1
y
0
2
= Cexp
−
Z
a
1
(x)
a
0
(x)
dx
,
y
1
y
2
n
y
1
. . . y
n
y
0
1
. . . y
0
n
y
(n−1)
1
. . . y
(n−1)
n
= Cexp
−
Z
a
1
(x)
a
0
(x)
dx
,
y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
n
(x)
 Ãëàâà 3.          Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè

                                êîýôôèöèåíòàìè




                3.1       Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ


Äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

                   a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = 0   (3.1)

íå ñóùåñòâóåò îáùèõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé. Èíîãäà
îäíî èëè íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ðåøåíèé óäàåòñÿ óãàäàòü.
  Åñëè èçâåñòíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y1 (x) óðàâíåíèÿ (3.1), òî åãî ïîðÿäîê ìîæíî ïîíèçèòü,
ñîõðàíÿÿ ëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèå íàäî ïîäñòàâèòü y = y1 z è çàòåì
ñäåëàòü çàìåíó z 0 = u.
   ñëó÷àå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

                                  a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0               (3.2)

ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ
                                         Z           
                          y1 y2              a1 (x)
                                  = Cexp −          dx ,                             (3.3)
                          y10 y20            a0 (x)

ãäå y1 è y2 - ëþáûå äâà ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ.
  Äëÿ óðàâíåíèÿ n - ãî ïîðÿäêà (3.1) ôîðìóëà Îñòðàãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ èìååò âèä

                                y1 . . . yn               Z          
                                                             a1 (x)
                               y10 . . . yn0       = Cexp −         dx ,             (3.4)
                            (n−1)          (n−1)
                                                             a0 (x)
                           y1      . . . yn

ãäå íàáîð ôóíêöèé
                                        y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)               (3.5)

åñòü ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé.

Страницы