Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= (C
1
+ C
2
t)e
t
+ C
3
e
2t
.
λ
3
− 4λ
2
+ +5λ − 2 = 0.
x = e
t
y
000
t
− 4y
00
t
+ 5y
0
t
− 2y = e
3t
.
e
3t
3
y
1
= Ae
3t
y
1
A = 1/4
y = (C
1
+ C
2
t)e
t
+ C
3
e
2t
+
1
4
e
3t
= (C
1
+ C
2
ln x)x + C
3
x
2
+
1
4
x
3
(x > 0).
x < 0 ln |x| ln x
x
2
y
00
− xy
0
− 3y = 0
x
2
y
00
+ xy
0
+ 4y = 0
x
2
y
00
− xy
0
+ y = 8x
3
x
2
y
00
− 2y = sin ln x
(2x + 3)
3
y
000
+ 3(2x + 3)y
0
− 6y = 0
y = C
1
x
3
+
C
2
x
y = C
1
cos(2 ln x) + C
2
sin(2 ln x)
y = x(C
1
+ C
2
ln |x|) + 2x
3
y = C
1
x
2
+ C
2
x
−1
+ 0, 1 cos ln x − 0, 3 sin ln x
y = C
1
x +
3
2
+ C
2
x +
3
2
3/2
+ C
3
x +
3
2
1/2
                                                       36


Îòñþäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò
âèä
                                        y0 = (C1 + C2 t)et + C3 e2t .

   ×òîáû ðåøèòü íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (2.37), ñíà÷àëà ðàñêðîåì ñêîáêè â âûðàæåíèè
(2.38):
                                          λ3 − 4λ2 + +5λ − 2 = 0.

Èñïîëüçóÿ ýòî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîñòàâëÿåì ëåâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ, à ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷àåì èç ïðàâîé ÷àñòè (2.37) çàìåíîé x = et :

                                        yt000 − 4yt00 + 5yt0 − 2y = e3t .

Ôóíêöèè e3t ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî 3, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå èùåì â âèäå y1 = Ae3t . Ïîäñòàâëÿÿ y1 â óðàâíå-
íèå, íàõîäèì A = 1/4.
   Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä
                                         1                               1
             y = (C1 + C2 t)et + C3 e2t + e3t = (C1 + C2 ln x)x + C3 x2 + x3   (x > 0).
                                         4                               4
Ïðè x < 0 ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà, íî ñ ln |x| âìåñòî ln x.
   Íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

   51.    x2 y 00 − xy 0 − 3y = 0.
   52.    x2 y 00 + xy 0 + 4y = 0.
   53.    x2 y 00 − xy 0 + y = 8x3 .
   54.    x2 y 00 − 2y = sin ln x.
   55. (2x + 3)3 y 000 + 3(2x + 3)y 0 − 6y = 0.
                                 C2
   Îòâåòû: 51. y = C1 x +
                             3
                                    .
                                 x
   52. y = C1 cos(2 ln x) + C2 sin(2 ln x).

   53.    y = x(C1 + C2 ln |x|) + 2x3 .
   54.    y = C1 x2 + C2 x−1 + 0, 1 cos ln x − 0, 3 sin ln x.
                                        3/2               1/2
                       3               3                  3
   55.    y = C1 x +       + C2 x +           + C3 x +          .
                       2               2                  2

Страницы