Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
(2x − 1)y
000
+ (4x − 3)xy
00
− 2xy
0
+ 2y = 0,
y
1
= 1/x y
2
= x
y = y
2
z = xz u = z
0
x
2
(2x − 1)u
00
+ (10x
2
− 6x)u
0
+ (6x − 6)z
0
= 0.
y
1
u
1
= −
2
x
3
u
1
u
u
0
1
u
0
= Cexp
−
Z
10x
2
− 6x
x
2
(2x − 1)
dx
.
u
u
1
0
u
u
1
0
=
C
u
2
1
·
(2x − 1)
x
6
.
u
1
u = −
C
1
x
3
(2x − 1)
2
+
C
2
x
3
.
z
z = −C
1
Z
(2x − 1)
2
x
3
dx + C
2
Z
dx
x
3
+ C
3
=
= C
1
ln |x| +
1
x
−
1
8x
2
+
C
2
x
2
+ C
3
.
y
y = C
1
(x ln |x| + 1) +
C
2
x
+ xC
3
.
u
1
u
2
y = u
1
− u
2
(x
2
− 1)y
00
+ 4xy
0
+ 2y = 6x,
u
1
= x u
2
=
x
2
+ x + 1
x + 1
                                                     39


Ïðèìåð   2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                        x2 (2x − 1)y 000 + (4x − 3)xy 00 − 2xy 0 + 2y = 0,         (3.8)

åñëè èçâåñòíû ÷àñòíûå ðåøåíèÿ y1 = 1/x è y2 = x.
  Ðåøåíèå.    Äåëàåì çàìåíó y = y2 z = xz , çàòåì u = z 0 . Â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå (3.8)
ïðèìåò âèä
                       x2 (2x − 1)u00 + (10x2 − 6x)u0 + (6x − 6)z 0 = 0.
×àñòíîå ðåøåíèå y1 ïîñëå çàìåíû ïðèìåò âèä u1 = − x23 .
  Ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî - Ëèóâèëëÿ (3.3):

                                            10x2 − 6x
                                     Z                  
                      u1 u
                              = Cexp −                 dx .
                      u01 u0               x2 (2x − 1)
                         0
Âûäåëèì ïðîèçâîäíóþ       u
                          u1
                               è ïðîèíòåãðèðóåì âûðàæåíèå â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû
                                           0
                                       u             C (2x − 1)
                                                 =       ·      .
                                       u1            u21   x6
Ïîäñòàâèì u1 è ïðîèíòåãðèðóåì
                                             C1             C2
                                   u=−         3
                                                 (2x − 1)2 + 3 .
                                             x              x
Âîçâðàùàåìñÿ ê ïåðåìåííîé z :
                                (2x − 1)2
                                  Z                Z
                                                      dx
                      z = −C1          3
                                           dx + C2        + C3 =
                                     x                 x3
                                              
                                         1   1       C2
                         = C1 ln |x| + − 2 + 2 + C3 .
                                         x 8x        x
Âîçâðàùàåìñÿ ê ñòàðîé ôóíêöèè y è ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.8):
                                             C2
                               y = C1 (x ln |x| + 1) +
                                                + xC3 .
                                              x
  Äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.6) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå çàìå÷à-
íèå:
Çàìå÷àíèå    1. Ïóñòü ôóíêöèè u1 è u2 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿì íåîäíîðîäíîãî óðàâ-
íåíèÿ (3.6), òîãäà èõ ðàçíîñòü y = u1 − u2 åñòü ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (3.1).
Ïðèìåð   1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                 (x2 − 1)y 00 + 4xy 0 + 2y = 6x,                   (3.9)
                                            x2 + x + 1
åñëè èçâåñòíû ÷àñòíûå ðåøåíèÿ u1 = x è u2 =            .
                                               x+1

Страницы