Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(2x + 1)y
00
+ (4x − 2)y
0
− 8y = 0,
y = x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
x + a
n
.
y
(2x + 1)[n(n − 1)x
n−2
+ . . .] + (4x − 2)[nx
n−1
+ . . .] − 8[x
n
+ . . .] = 0.
x
n
4n − 8 = 0,
n = 2 y =
x
2
+ ax + b
4ax + 2 − 2a − 8b = 0.
a = 0 2 − 2a − 8b = 0 b = 1/4
y = x
2
+
1
4
.
xy
00
− (2x + 1)y
0
+ (x + 1)y = 0.
x
y = x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
x + a
n
.
y
x[n(n − 1)x
n−2
+ . . .] − (2x + 1)[nx
n−1
+ . . .] + (x + 1)[x
n
+ . . .] = 0.
x
n+1
1 = 0.
                                                41


               3.2    Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé


 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ÷àñòíîå ðåøåíèå óäàåòñÿ íàéòè ïóòåì ïîäáîðà.
Ïðèìåð   3. Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                               (2x + 1)y 00 + (4x − 2)y 0 − 8y = 0,                        (3.12)

ÿâëÿþùååñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì (åñëè òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò).
  Ðåøåíèå.   Îïðåäåëèì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà. Ïóñòü

                          y = xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an x + an .

Ïîäñòàâèì y â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

           (2x + 1)[n(n − 1)xn−2 + . . .] + (4x − 2)[nxn−1 + . . .] − 8[xn + . . .] = 0.

Ïðèðàâíèâàåì íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè ñàìîé ñòàðøåé ñòåïåíè xn , áóäåì èìåòü

                                           4n − 8 = 0,

îòêóäà n = 2. Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåí ìîæåò áûòü ëèøü âòîðîé ñòåïåíè, òî åñòü y =
x2 + ax + b. Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (3.13):

                                    4ax + 2 − 2a − 8b = 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, a = 0, 2 − 2a − 8b = 0. Îòñþäà b = 1/4. ×àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä
                                                   1
                                           y = x2 + .
                                                   4
Ïðèìåð   4. Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                               xy 00 − (2x + 1)y 0 + (x + 1)y = 0.                         (3.13)

  Ðåøåíèå.   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä ìíîãî÷ëåíà îòíîñèòåëüíî x:

                          y = xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an x + an .

Ïîäñòàâèì y â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

           x[n(n − 1)xn−2 + . . .] − (2x + 1)[nxn−1 + . . .] + (x + 1)[xn + . . .] = 0.

Ïðèðàâíèâàåì íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè xn+1

                                              1 = 0.

Òàê êàê ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, òî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ â âèäå ìíîãî÷ëåíà íå ñóùåñòâóåò.

Страницы