Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = 0
y = y
0
, y
0
= y
0
0
x = x
0
,
y
0
y
0
0
p(x) q(x) x
0
p(x) =
∞
X
k=0
p
k
(x − x
0
)
k
; q(x) =
∞
X
k=0
q
k
(x − x
0
)
k
,
|x−x
0
| < r
y = y(x)
y(x) = y
0
+ y
0
0
(x
0
)(x − x
0
) +
∞
X
k=2
C
k
(x − x
0
)
k
,
y
0
y
0
0
C
k
x − x
0
p(x) q(x)
x
Ãëàâà 4.            Èíòåãðèðîâàíèå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

                      ìåòîäîì ñòåïåííûõ ðÿäîâ




      4.1   Íàõîæäåíèå ðåøåíèé îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

                      âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ


Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

                                       y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0                           (4.1)

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
                                 y = y0 , y 0 = y00       ïðè      x = x0 ,                 (4.2)
ãäå y0 , y00 - ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Òåîðåìà     1. Ïóñòü ôóíêöèè p(x) è q(x) - ãîëîìîðôíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , òî åñòü
ðàçëàãàþòñÿ â ñòåïåííûå ðÿäû âèäà
                                ∞
                                X                                  ∞
                                                                   X
                       p(x) =                      k
                                      pk (x − x0 ) ;      q(x) =          qk (x − x0 )k ,   (4.3)
                                k=0                                 k=0

ñõîäÿùèåñÿ íà èíòåðâàëå |x−x0 | < r. Òîãäà çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1) ñ íà÷àëüíû-
ìè óñëîâèÿìè (4.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå y = y(x), êîòîðîå ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé
ðÿä
                                                                  ∞
                                                                  X
                        y(x) = y0 +      y00 (x0 )(x   − x0 ) +         Ck (x − x0 )k ,     (4.4)
                                                                  k=2

ñõîäÿùèéñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, íà òîì æå èíòåðâàëå, ÷òî è ðÿäû (4.3).
  Åñëè çàäàíû ÷èñëà y0 è y00 , êîýôôèöèåíòû Ck ðÿäà (4.4) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî,
íàïðèìåð, ïîäñòàíîâêîé ðÿäà (4.4) â óðàâíåíèå (4.1) è ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ êîýôôè-
öèåíòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ ñòåïåíÿõ x − x0 â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà (ìåòîä
íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ).
   ïðèëîæåíèÿõ ÷àùå âñåãî âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà p(x) è q(x) ëèáî ïîëèíîìû,
ëèáî îòíîøåíèå ïîëèíîìîâ.  ïåðâîì ñëó÷àå ðÿä (4.4) ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x. Âî

Страницы