Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
p(z) q(z) z
y
1
y
2
y
1
y
2
x = x
0
y
1
= 1 y
0
1
= 0 x = x
0
y
2
= 0 y
0
2
= 1
x = x
0
n
y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ . . . + a
n−1
(x)y
0
+ a
n
(x)y = f(x)
a
1
(x), a
2
(x), . . . , a
n
(x) f(x)
y = y
0
, y
0
= y
0
0
, . . . , y
(n−1)
= y
(n−1)
0
x = x
0
,
y = y
o
+ y
0
0
(x − x
0
) +
y
00
0
2!
(x − x
0
)
2
+ . . . +
y
(n−1)
0
(n − 1)!
(x − x
0
)
(n−1)
+
∞
X
k=n
C
k
(x − x
0
)
k
,
|x − x
0
| < r
y
00
+ y = 0,
y(0) = 1; y
0
(0) = 0.
y(x) = 1 +
∞
X
k=2
C
k
x
k
.
C
k
x
                                                       44


âòîðîì ñëó÷àå åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè x0 äî áëèæàéøåãî
èç ïîëþñîâ ôóíêöèé p(z) è q(z), ðàññìàòðèâàåìûõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z .
   Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1) äîñòàòî÷íî íàéòè äâà ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ y1 è y2 . Îáû÷íî ñòðîÿò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé y1
è y2 , íîðìèðîâàííóþ â òî÷êå x = x0 , òàê ÷òî y1 = 1, y10 = 0 ïðè x = x0 ; y2 = 0, y20 = 1 ïðè
x = x0 .
   Åñëè ðÿä (4.4), ïðåäñòàâëÿþùèé ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.1), óäàåòñÿ ïðîñóììèðîâàòü, ò.
å. âûðàçèòü åãî ñóììó ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, òî âòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ìîæíî
íàéòè ïî ôîðìóëå (3.3).
   Ìåòîä ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïðèìåíÿåòñÿ è äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðîèçâîëü-
íîãî ïîðÿäêà n
                      y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x)

ñ ãîëîìîðôíûìè êîýôôèöèåíòàìè a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) è ïðàâîé ÷àñòüþ f (x). Ïðè ýòîì
ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                                                  (n−1)
                       y = y0 , y 0 = y00 , . . . , y (n−1) = y0            ïðè   x = x0 ,

çàïèñûâàåòñÿ òàê:
                                                             (n−1)                   ∞
                                 y000                      y                        X
      y = yo + y00 (x − x0 ) +        (x − x0 )2 + . . . + 0       (x − x0 )(n−1) +     Ck (x − x0 )k ,
                                 2!                       (n − 1)!                  k=n

ãäå |x − x0 | < r.
Ïðèìåð     1. Íàéòè ìåòîäîì ñòåïåííûõ ðÿäîâ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
                                  
                                   y 00 + y = 0,
                                                                                                          (4.5)
                                   y(0) = 1; y 0 (0) = 0.

   Ðåøåíèå.   Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.4), ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå
                                                            ∞
                                                            X
                                          y(x) = 1 +              Ck xk .                                 (4.6)
                                                            k=2

Êîýôôèöèåíòû Ck íàõîäèì ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîäñòàâèâ ðÿä
(4.6) â óðàâíåíèå (4.5) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x, ïî-

Страницы