Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
2C
2
+ 1 = 0,
x C
3
= 0,
x
2
4 · 3 · C
4
+ C
2
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
k
k(k − 1)C
k
+ C
k−2
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
2k
=
(−1)
k
(2k)!
, C
2k+1
= 0, k = 0, 1, 2, . . .
y(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
x
2k
(2k)!
.
y = cos x
y
00
− xy = 0.
y
1
(x) y
2
(x)
y
1
(0) = 1, y
0
1
(0) = 0; y
2
(0) = 0, y
0
2
(0) = 1.
y
1
(x) = 1 +
∞
X
k=2
a
k
x
k
,
y
2
(x) = x +
∞
X
k=2
b
k
x
k
.
y
1
(x)
∞
X
k=2
[a
k
k(k − 1)x
k−2
− a
k
x
k+1
] − x = 0.
                                               45


ëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:

                           ïðè x0 :     2C2 + 1 = 0,
                           ïðè x:      C3 = 0,
                           ïðè x2 :     4 · 3 · C4 + C2 = 0,
                            ..............................
                           ïðè xk :     k(k − 1)Ck + Ck−2 = 0,
                            ..............................

Ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿÿ êîýôôèöèåíòû, íàéäåì, ÷òî
                                 (−1)k
                        C2k =           , C2k+1 = 0, k = 0, 1, 2, . . .
                                  (2k)!
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì
                                             ∞
                                             X (−1)k x2k
                                    y(x) =                       .
                                             k=0
                                                     (2k)!

Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè ê ôóíêöèè y = cos x, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è Êîøè.
Ïðèìåð   2. Íàéòè ìåòîäîì ñòåïåííûõ ðÿäîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

                                         y 00 − xy = 0.                      (4.7)

  Íàéäåì äâà ðåøåíèÿ y1 (x) è y2 (x), óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

                       y1 (0) = 1, y10 (0) = 0; y2 (0) = 0, y20 (0) = 1.

Îíè áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïî ôîðìóëå (4.4)
                                                    ∞
                                                    X
                                    y1 (x) = 1 +          ak x k ,           (4.8)
                                                    k=2

                                                    ∞
                                                    X
                                    y2 (x) = x +          bk xk .            (4.9)
                                                    k=2

  Íàéäåì y1 (x). Ïîäñòàâëÿÿ ðÿä (4.8) â óðàâíåíèå (4.7), ïîëó÷àåì
                         ∞
                         X
                               [ak k(k − 1)xk−2 − ak xk+1 ] − x = 0.
                         k=2

Страницы