Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
k
x
0
a
2
= 0,
x 3 · 2 · a
3
= 1,
x
2
a
4
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
k
k(k − 1)a
k
− a
k−3
= 0; k = 5, 6, . . .
a
3k
=
1
2 · 3 · 5 · 6 . . . (3k − 1)3k
, a
3k+1
= a
3k+2
= 0.
y
1
(x) =
∞
X
k=1
x
3k
2 · 3 · 5 · 6 . . . (3k − 1)3k
+ 1.
y
2
(x)
y
2
(x) =
∞
X
k=1
x
3k+1
3 · 4 · 6 · 7 . . . 3k(3k + 1)
+ x.
y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
,
C
1
C
2
y
1
y
2
x =
0
(1 − x
2
)y
00
− xy
0
− y = 0.
y
1
y
2
y
1
(0) = 1, y
0
1
(0) = 0; y
2
(0) = 0, y
0
2
(0) = 1.
y
1
y
2
y
00
−
x
1 − x
2
y
0
−
1
1 − x
2
y = 0.
x
|x| < 1 y
1
y
2
|x| < 1
                                                     46


Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû ak îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû

                       ïðè x0 :        a2 = 0,
                       ïðè x:      3 · 2 · a3 = 1,
                       ïðè x2 :        a4 = 0,
                       ..................
                       ïðè xk :        k(k − 1)ak − ak−3 = 0; k = 5, 6, . . .



è èìåþò âèä
                                            1
                   a3k =                                   ,    a3k+1 = a3k+2 = 0.
                            2 · 3 · 5 · 6 . . . (3k − 1)3k
Òàêèì îáðàçîì,
                                       ∞
                                       X                   x3k
                            y1 (x) =                                        + 1.
                                       k=1
                                             2 · 3 · 5 · 6 . . . (3k − 1)3k
  Àíàëîãè÷íî íàõîäèì y2 (x):
                                       ∞
                                       X                  x3k+1
                            y2 (x) =                                        + x.
                                       k=1
                                             3 · 4 · 6 · 7 . . . 3k(3k + 1)

  Îáùåå ðåøåíèå
                                             y = C1 y1 + C2 y2 ,

ãäå C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ïðèìåð   3. Íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé y1 , y2 , íîðìèðîâàííóþ â òî÷êå x =
0, ìåòîäîì ñòåïåííûõ ðÿäîâ è ïîñòðîèòü îáùåå ðåøåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ

                                       (1 − x2 )y 00 − xy 0 − y = 0.                 (4.10)

  Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ äâóõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé y1 è y2 , óäîâëåòâîðÿþùèõ íà-
÷àëüíûì óñëîâèÿì
                        y1 (0) = 1, y10 (0) = 0; y2 (0) = 0, y20 (0) = 1.

  Óáåäèìñÿ, ÷òî ðåøåíèÿ y1 è y2 ñóùåñòâóþò. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (4.10) â âèäå
                                             x            1
                                  y 00 −          y 0
                                                      −        y = 0.
                                           1 − x2       1 − x2
Êîýôôèöèåíòû ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàçëàãàþòñÿ â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì x, ñõîäÿùèåñÿ â îáëàñòè
|x| < 1. Ïîýòîìó y1 è y2 ñóùåñòâóþò, ïðè÷åì ðÿäû, ïðåäñòàâëÿþùèå èõ, ñõîäÿòñÿ, ïî
êðàéíå ìåðå, ïðè |x| < 1.

Страницы