Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(1 − x)y
00
+ y = 0
y
1
= 1 +
x
2
2!
+
3x
4
4!
+ . . . y
2
= x +
12
5!
x
5
+ . . . y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
y
1
= 1 −
x
2
2!
−
x
3
3!
−
x
4
4!
−
2x
5
5!
− . . . y
2
= x −
x
3
3!
−
2x
4
4!
−
5x
5
5!
+ . . .
(x − x
0
)
r
∞
X
k=0
c
k
(x − x
0
)
k
(c
0
6= 0),
r
|x − x
0
| < R
r
x
0
p(x) q(x)
x = x
0
p(x) =
P
∞
k=0
p
k
(x − x
0
)
k
x − x
0
, q(x) =
P
∞
k=0
q
k
(x − x
0
)
k
(x − x
0
)
2
,
p
2
0
+ q
2
0
+ q
2
1
6= 0 |x − x
0
| < R
y(x) = (x − x
0
)
r
∞
X
k=0
c
k
(x − x
0
)
k
(c
0
6= 0),
|x − x
0
| < R
p(x) q(x)
x − x
0
(x − x
0
)
r
∞
X
−∞
c
k
(x − x
0
)
k
,
C
k
                                                         48


   66.   (1 − x)y 00 + y = 0.
                           x2      3x4                      12 5
   Îòâåòû: 65.       y1 = 1 + +          + . . ., y 2 = x +    x + . . ., y = C1 y1 + C2 y2 .   66.
                           2!       4!                      5!
         x2 x3 x4 2x5                            x3 2x4 5x5
y1 = 1 −    −    −    −     − . . ., y 2 = x −       −    −     + ...
         2!   3!   4!   5!                        3!   4!    5!

   4.2       Íàõîæäåíèå ðåøåíèé îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

              âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ


Îïðåäåëåíèå     4.1. Ðÿä âèäà
                                                 ∞
                                                 X
                                   (x − x0 ) r
                                                       ck (x − x0 )k (c0 6= 0),            (4.13)
                                                 k=0

ãäå r - çàäàííîå ÷èñëî, è ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè
|x − x0 | < R, íàçûâàåòñÿ       îáîáùåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì.

   Åñëè r - öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî îáîáùåííûé ñòåïåííîé ðÿä (4.13) îáðàùàåòñÿ
â îáû÷íûé ñòåïåííîé ðÿä.
   Åñëè òî÷êà x0 ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé äëÿ ôóíêöèé p(x) è q(x) â óðàâíåíèè (4.1), òî
òåîðåìà (1) íå ïðèìåíèìà.  ýòîì ñëó÷àå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1) â
âèäå îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ (4.13). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà    2. Åñëè êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (4.1) ïðåäñòàâèìû â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè
x = x0 â âèäå                   P∞                        P∞
                                   pk (x − x0 )k           k=0 qk (x − x0 )
                                                                           k
                       p(x) =      k=0
                                                 , q(x) =                    ,        (4.14)
                                   x − x0                    (x − x0 )2
ãäå p20 + q02 + q12 6= 0 è ðÿäû â ÷èñëèòåëÿõ ñõîäÿòñÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè |x − x0 | < R, òî
óðàâíåíèå (4.1) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå â âèäå îáîáùåííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà:
                                                       ∞
                                                       X
                                y(x) = (x − x0 )   r
                                                             ck (x − x0 )k (c0 6= 0),      (4.15)
                                                       k=0

ïðè÷åì âõîäÿùèé â ýòî ðåøåíèå ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, â òîé æå
îáëàñòè |x − x0 | < R, ÷òî è ðÿäû â ôîðìóëàõ (4.14).
Çàìå÷àíèå     1. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé p(x) è q(x) èìååò â çíàìåíàòåëå áîëåå âû-
ñîêóþ ñòåïåíü x − x0 , ÷åì ýòî óêàçàíî â òåîðåìå (2), òî ðåøåíèå â âèäå îáîáùåííîãî
ñòåïåííîãî ðÿäà íå ñóùåñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå, ïî êðàéíå ìåðå, îäíî ðåøåíèå èìååò âèä
îáîáùåííîãî ðÿäà Ëîðàíà
                                                       ∞
                                                       X
                                                   r
                                         (x − x0 )           ck (x − x0 )k ,
                                                       −∞
ïðè÷åì îáÿçàòåëüíî áåñêîíå÷íî ìíîãî êîýôôèöèåíòîâ Ck ñ îòðèöàòåëüíûìè íîìåðàìè
îòëè÷íî îò íóëÿ.

Страницы