ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
c
k
x − x
0
r
x = x
0
r(r − 1) + p
0
r + q
0
= 0.
p
0
q
0
p
0
= lim
x→x
0
(x − x
0
)p(x), q
0
= lim
x→x
0
(x − x
0
)
2
q(x).
r
x − x
0
r
1
r
2
r r
1
r
2
r
1
y = (x − x
0
)
r
1
∞
X
k=0
c
(1)
k
(x − x
0
)
k
(c
(1)
0
6= 0).
r
1
− r
2
y
1
y
2
y
1
= (x − x
0
)
r
1
∞
X
k=0
c
(1)
k
(x − x
0
)
k
(c
(1)
0
6= 0),
y
2
= (x − x
0
)
r
2
∞
X
k=0
c
(2)
k
(x − x
0
)
k
(c
(2)
0
6= 0).
r
1
− r
2
y
1
y
2
= (x − x
0
)
r
2
∞
X
k=0
c
(2)
k
(x − x
0
)
k
+ γy
1
(x) ln(x − x
0
),
r
1
− r
2
= 0 γ 6= 0 y
2
(x)
ln(x − x
0
)
2x
2
y
00
+ (3x − 2x
2
)y
0
− (x + 1)y = 0.
y
00
+
(3/2 − x)
x
y
0
+
(−1/2 − x/2)
x
2
y = 0.
49
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ck íóæíî ïîäñòàâèòü ðÿä (4.15) â óðàâíåíèå (4.1) è
ïðèðàâíÿòü íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàçëè÷íûõ ñòåïåíÿõ x − x0 . ×èñëî r íàõîäèòñÿ èç
òàê íàçûâàåìîãî îïðåäåëÿþùåãî óðàâíåíèÿ â îñîáîé òî÷êå x = x0 :
r(r − 1) + p0 r + q0 = 0. (4.16)
Êîýôôèöèåíòû p0 è q0 ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì
p0 = lim (x − x0 )p(x), q0 = lim (x − x0 )2 q(x). (4.17)
x→x0 x→x0
Óðàâíåíèå íà r ìîæíî òàê æå ïîëó÷èòü, ïðèðàâíÿâ ê íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè íàè-
ìåíüøåé ñòåïåíè x − x0 .  ñëó÷àå, êîãäà êîðíè r1 è r2 îïðåäåëÿþùåãî óðàâíåíèÿ (4.16)
ðàçëè÷íû, óðàâíåíèå (4.1) âñåãäà èìååò ðåøåíèå âèäà (4.15), ãäå r åñòü òîò èç êîðíåé r1 è
r2 , êîòîðûé èìååò áîëüøóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü. Åñëè r1 ýòîò êîðåíü, òî ðåøåíèå èìååò
âèä
∞
X
r1 (1) (1)
y = (x − x0 ) ck (x − x0 )k (c0 6= 0).
k=0
Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè ðàçíîñòü r1 − r2 íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, òî óðàâíåíèå (4.1)
èìååò äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ y1 è y2 â âèäå îáîáùåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ
∞
X (1) (1)
y1 = (x − x0 ) r1
ck (x − x0 )k (c0 6= 0), (4.18)
k=0
∞
X (2) (2)
y2 = (x − x0 ) r2
ck (x − x0 )k (c0 6= 0). (4.19)
k=0
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè ðàçíîñòü r1 − r2 - öåëîå ÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå y1 , ÿâëÿþ-
ùååñÿ îáîáùåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì âèäà (4.18), à âòîðîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ðåøåíèå
èìååò âèä
∞
X (2)
y2 = (x − x0 )r2 ck (x − x0 )k + γy1 (x) ln(x − x0 ), (4.20)
k=0
ïðè÷åì ïðè r1 − r2 = 0 êîýôôèöèåíò γ 6= 0, òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå y2 (x) îáÿçàòåëüíî
ñîäåðæèò ln(x − x0 ).
Ïðèìåð 4. Íàéòè òå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáîáùåííûå ñòåïåí-
íûå ðÿäû:
2x2 y 00 + (3x − 2x2 )y 0 − (x + 1)y = 0. (4.21)
Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (4.21) â ñëåäóþùåì âèäå:
(3/2 − x) 0 (−1/2 − x/2)
y 00 + y + y = 0. (4.22)
x x2
