Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
y
(n)
= f(x).
f(x) (a, b)
y
0
y
0
0
y
(n−1)
0
x
0
(a, b)
(a, b)
y =
Z Z
···
Z
| {z }
n
f(x)dxdx ···dx + C
1
x
n−1
+ C
2
x
n−2
+ . . . + C
n
x + C
n
a < x < b, |y| < +∞, |y
0
| < +∞, . . . , |y
(n−1)
| < +∞.
C
1
, C
2
, . . . , C
n
y =
Z
x
x
0
Z
x
x
0
···
Z
x
x
0
| {z }
n
f(x)dxdx ···dx +
y
(n−1)
0
(n − 1)!
(x − x
0
)
(n−1)
+
+
y
(n−2)
0
(n − 2)!
(x − x
0
)
(n−2)
+ . . . + y
0
0
(x − x
0
) + y
0
,
 Ãëàâà 1.                  Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïîíèæåíèå

                                                   ïîðÿäêà




1.1       Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå òîëüêî íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è

                                            ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà                    n.

                      Óðàâíåíèÿ, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé


Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
                                                     y (n) = f (x).                                          (1.1)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèí-
                                                                                              (n−1)
ñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, ïðè÷åì íà÷àëüíûå äàííûå y0 , y00 ,. . . , y0                            ìîæíî çàäà-
âàòü ëþáûå, à x0 äîëæíî ïðèíàäëåæàòü èíòåðâàëó (a, b). Ýòî ðåøåíèå áóäåò ÷àñòíûì è
áóäåò îïðåäåëåíî âî âñåì èíòåðâàëå (a, b). Îñîáûõ ðåøåíèé óðàâíåíèå (1.1) íå èìååò.
   Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäîâàòåëüíî óðàâíåíèå (1.1), ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå
              Z Z       Z
           y=      · · · f (x)dxdx · · · dx + C1 xn−1 + C2 xn−2 + . . . + Cn x + Cn                          (1.2)

                n ðàç
              | {z }

â îáëàñòè
                       a < x < b,       |y| < +∞,       |y 0 | < +∞, . . . ,   |y (n−1) | < +∞.              (1.3)

C1 ,   C2 , . . . ,   Cn - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
   Îáùåå ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê æå â ôîðìå Êîøè:
                   Z xZ x      Z x                        (n−1)
                                                         y0
               y=          ···     f (x)dxdx · · · dx +          (x − x0 )(n−1) +
                                                        (n − 1)!
                   | x0 x{z
                         0      x0
                       n ðàç
                                 }
                            (n−2)
                           y0
                      +            (x − x0 )(n−2) + . . . + y00 (x − x0 ) + y0 ,                             (1.4)
                          (n − 2)!

Страницы