Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
002
+ 5y
00
+ 6 = 0.
y
00
y
00
=
−2 y
00
= −3
y
0
= −2x + C
1
, y = −x
2
+ C
1
x + C
2
;
y
0
= −3x + C
1
, y = −
3
2
x
2
+ C
1
x + C
2
.
(y + x
2
− C
1
x − C
2
)(y +
3
2
x
2
− C
1
x − C
2
) = 0 :
F (x, y
(n)
) = 0.
y
(n)
x
x = f(y
(n)
).
y
(n)
= t x = f(t) x t
y t dx =
f
0
(t)dt dy
(n−1)
= y
(n)
dx = tf
0
(t)dt
y
(n−1)
=
Z
tf
0
(t)dt + C
1
≡ ϕ
1
(t, C
1
).
y
(n−2)
y
y = ϕ
n
(t, C
1
, C
2
, . . . C
n
)
x = f(t),
y = ϕ
n
(t, C
1
, C
2
, . . . , C
n
).
                                                     7


Ïðèìåð    2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                          y 002 + 5y 00 + 6 = 0.                              (1.10)

   Ðåøåíèå. Ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé y 00 . Ðàçðåøàåì åãî: y 00          =
−2, y 00 = −3. Èíòåãðèðóåì ýòè óðàâíåíèÿ:

                               y 0 = −2x + C1 ,    y = −x2 + C1 x + C2 ;
                                            3
                              y 0 = −3x + C1 ,
                                      y = − x2 + C1 x + C2 .
                                            2
Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ îáùèõ ðåøåíèé îáðàçóåò îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.10). Åãî ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå îäíîãî ñîîòíîøåíèÿ
                                                   3
                          (y + x2 − C1 x − C2 )(y + x2 − C1 x − C2 ) = 0 :
                                                   2

              Óðàâíåíèÿ, íå ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé.


Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
                                             F (x, y (n) ) = 0.                               (1.11)

   Åñëè åãî ìîæíî ðàçðåøèòü â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ îòíîñèòåëüíî y (n) , ìû ïîëó÷èì
îäíî èëè íåñêîëüêî óðàâíåíèé ðàññìîòðåííîãî âûøå âèäà (ñìîòðè ïðèìåð (2)).
   Èíîãäà óðàâíåíèÿ ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x:

                                              x = f (y (n) ).

 ýòîì ñëó÷àå óäàåòñÿ íàéòè îáùåå ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ââîäèì ïàðàìåòð
y (n) = t, òîãäà x = f (t). Òàê êàê x óæå âûðàæåíî ÷åðåç ïàðàìåòð t, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
òîìó, ÷òîáû âûðàçèòü y ÷åðåç t. Íàõîäèì äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé dx =
f 0 (t)dt. Òîãäà dy (n−1) = y (n) dx = tf 0 (t)dt, îòêóäà
                                             Z
                                  y (n−1)
                                          = tf 0 (t)dt + C1 ≡ ϕ1 (t, C1 ).

Àíàëîãè÷íî íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ y (n−2) è ò.ä. Íàêîíåö äëÿ y ïîëó÷èì âûðàæåíèå âèäà
y = ϕn (t, C1 , C2 , . . . Cn ), ñëåäîâàòåëüíî,
                                      
                                       x = f (t),
                                                                                              (1.12)
                                       y = ϕ (t, C , C , . . . , C ).
                                                n  1   2           n


   Óðàâíåíèå (1.12) áóäåì íàçûâàòü îáùèì ðåøåíèåì                            óðàâíåíèÿ (1.11) â ïà-
ðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå.

Страницы