Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x − e
y
00
+ y
002
= 0.
y
00
x x = e
y
00
−y
002
y
00
t
x = e
t
− t
2
y
00
= t dx = (e
t
− 2t)dt dy
0
= y
00
dx = t(e
t
− 2t)dt
y
0
=
Z
t(e
t
− 2t)dt + C
1
= e
t
(t − 1) −
2
3
t
3
+ C
1
.
dy = y
0
dx =
e
t
(t − 1) −
2
3
t
3
+ C
1
(e
t
− 2t)dt
dy =
e
2t
(t − 1) −
2
3
t
3
+ 2t
2
− 2t − C
1
e
t
+
4
3
t
4
− 2C
1
t
dt.
y =
t
2
−
3
4
e
2t
−
2
3
t
3
− 2t + 2 − C
1
e
t
+
4
15
t
5
− C
1
t
2
+ C
2
,
x = e
t
− t
2
.
x = ϕ(t),
y
(n)
= ψ(t),
dx = ϕ
0
(t)dt, dy
(n−1)
= y
(n)
dx = ψ(t)ϕ
0
(t)dt,
y
(n−1)
=
Z
ψ(t)ϕ
0
(t)dt + C
1
≡ ψ
1
(t, C
1
).
x = ϕ(t),
y = ψ
n
(t, C
1
, C
2
, . . . , C
n
).
y
002
− 8y
00
+ x
2
− 6x + 24 = 0.
(x − 3)
2
+ (y
00
− 4)
2
= 1.
                                                       8


Ïðèìåð    1. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                  00
                                            x − ey + y 002 = 0.                                 (1.13)

   Ðåøåíèå.   Óðàâíåíèå íåðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî y 00 . Çàòî îíî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî
         00
x: x = ey −y 002 . Ïðèíÿâ y 00 çà t, ïîëó÷èì ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (1.13)
â âèäå x = et − t2 , y 00 = t. Äàëåå, dx = (et − 2t)dt, dy 0 = y 00 dx = t(et − 2t)dt, îòêóäà
                               Z
                           0                                         2
                          y = t(et − 2t)dt + C1 = et (t − 1) − t3 + C1 .
                                                                     3
Ïîýòîìó                                               
                                0              2 3
                      dy = y dx = e (t − 1) − t + C1 (et − 2t)dt
                                             t
                                               3
èëè                                                             
                      2t           2 3     2            t 4 4
                dy = e (t − 1) −     t + 2t − 2t − C1 e + t − 2C1 t dt.
                                   3                      3
Èíòåãðèðóåì è ïîëó÷àåì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå:
            
             y = t − 3  e2t − 2 t3 − 2t + 2 − C  et + 4 t5 − C t2 + C ,
                     2   4       3               1       15      1      2
             x = et − t2 .

   Ïóñòü óðàâíåíèå (1.11) äîïóñêàåò òàêîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå:
                                    
                                     x = ϕ(t),
                                     y (n) = ψ(t),

òîãäà
                         dx = ϕ0 (t)dt, dy (n−1) = y (n) dx = ψ(t)ϕ0 (t)dt,
                                     Z
                            y (n−1)
                                    = ψ(t)ϕ0 (t)dt + C1 ≡ ψ1 (t, C1 ).

Ðàññóæäàÿ òàê æå êàê è â âûøå ðàññìîòðåííîì òèïå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå
â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
                                    
                                     x = ϕ(t),
                                     y = ψ (t, C , C , . . . , C ).
                                           n     1   2           n


Ïðèìåð    3. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                    y 002 − 8y 00 + x2 − 6x + 24 = 0.                           (1.14)

   Ðåøåíèå.   Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå â âèäå

                                       (x − 3)2 + (y 00 − 4)2 = 1.

Страницы