Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = cos t + 3,
y
00
= sin t + 4.
⇒
dx = −sin tdt,
dy
0
= y
00
dx.
dx
dy
0
= −(sin t + 4) sin tdt = −(sin
2
t + 4 sin t)dt,
y
0
= −
Z
(sin
2
t + 4 sin t)dt + C
1
= −
t
2
+
sin 2t
4
+ 4 cos t + C
1
⇒
⇒ dy =
−
t
2
+
sin 2t
4
+ 4 cos t + C
1
dx = −
−
t
2
+
sin 2t
4
+ 4 cos t + C
1
sin tdt.
x = cos t + 3
y = −
t cos t
2
+
sin t
2
−
sin
3
t
6
+ 2 cos
2
t + C
1
cos t + C
2
.
F (x, y
(k)
, y
(k+1)
, . . . , y
(n)
) = 0 (1 ≤ k < n).
y
(k)
= z z
(n − k)
F (x, z, z
0
, . . . , z
(n−k)
) = 0.
z = ϕ(x, C
1
, . . . , C
n−k
) Φ(x, z, C
1
, . . . , C
n−k
) = 0,
y
y
(k)
= ϕ(x, C
1
, . . . , C
n−k
) Φ(x, y
(k)
, C
1
, . . . , C
n−k
) = 0.
y
00
+
2y
02
x
2
= 0.
                                                             9


Îíî äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ ïàðàìåòðèçàöèþ:
                                           
                       x = cos t + 3,       dx = − sin tdt,
                                          ⇒
                       y 00 = sin t + 4.    dy 0 = y 00 dx.

Èñêëþ÷àåì dx èç ïîñëåäíåé ñèñòåìû óðàâíåíèé:

                            dy 0 = −(sin t + 4) sin tdt = −(sin2 t + 4 sin t)dt,

îòêóäà                  Z
                0                              t sin 2t
            y = − (sin2 t + 4 sin t)dt + C1 = − +       + 4 cos t + C1 ⇒
                                               2   4
                                                                      
              t sin 2t                           t sin 2t
     ⇒ dy = − +        + 4 cos t + C1 dx = − − +           + 4 cos t + C1 sin tdt.
              2   4                              2      4
Èíòåãðèðóåì, íàõîäèì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå:
                 
                  x = cos t + 3
                       y = − t cos t +       sin t       sin3 t
                                 2              2
                                                      −     6
                                                                   + 2 cos2 t + C1 cos t + C2 .

          1.2       Óðàâíåíèÿ, íå ñîäåðæàùèå èñêîìîé ôóíêöèè


Ýòîò òèï óðàâíåíèÿ èìååò âèä

                              F (x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0 (1 ≤ k < n).

Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè y (k) = z , ãäå z - íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, óðàâíåíèå ðàññìàò-
ðèâàåìîãî òèïà ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ (n − k) - ãî ïîðÿäêà:

                                        F (x, z, z 0 , . . . , z (n−k) ) = 0.                     (1.15)

  Åñëè (1.15) èíòåãðèðóåòñÿ â êâàäðàòóðå òàê, ÷òî ìû íàéäåì

                    z = ϕ(x, C1 , . . . , Cn−k ) èëè Φ(x, z, C1 , . . . , Cn−k ) = 0,

òî, âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííîé y , ñîîòâåòñòâåííî,

                y (k) = ϕ(x, C1 , . . . , Cn−k ) èëè Φ(x, y (k) , C1 , . . . , Cn−k ) = 0.

Ýòî óðàâíåíèå ðàññìîòðåííîãî âûøå âèäà.
Ïðèìåð   4. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                           2y 02
                                                 y 00 +          = 0.                             (1.16)
                                                            x2

Страницы