Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 11 стр.

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КФУ | Казань

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y y =
F (y
(k)
, y
(k+1)
, . . . , y
(n)
) = 0 (1 ≤ k < n),
y
(k)
= z(x)
F (z, z
0
, . . . , z
(n−k)
) = 0 (1 ≤ k < n).
2yy
00
= y
02
+ y
2
.
y
0
x
= z(y) y y
00
xx
= z
0
y
y
0
x
=
z
0
y
z
2yz
dz
dy
= z
2
+ y
2
.
z
2
= u 2z
dz
dy
=
dz
2
dy
,
yu
0
y
= u + y
2
.
u = C
1
y + y
2
.
z
2
= C
1
y + y
2
y
02
= C
1
y + y
2
dy
p
C
1
y + y
2
= ±dx ⇒ ln |y + C
1
/2 +
p
C
1
y + y
2
| = ±x + C
2
.
y = 0.
yy
00
+ 1 = y
02
.
y
0
x
= z(y) y
00
xx
= z
0
y
y
0
x
= z
0
y
z
yzz
0
y
= z
2
− 1 ⇒ z
2
− 1 = Cy
2
⇒ y
0
= ±
p
Cy
2
− 1.
                                                             11


   Ïðèíèìàÿ y çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ, ìû ìîãëè ïîòåðÿòü ðåøåíèå âèäà y = const.
Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèå (1.17) ìîæíî âûÿñíèòü, èìååò ëè îíî ðåøå-
íèå òàêîãî âèäà.
   Åñëè óðàâíåíèå èìååò âèä

                              F (y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0 (1 ≤ k < n),               (1.18)

òî äåëàåì çàìåíó y (k) = z(x). Òîãäà óðàâíåíèå (1.18) ïðèìåò âèä óðàâíåíèÿ (1.17):

                                  F (z, z 0 , . . . , z (n−k) ) = 0 (1 ≤ k < n).

Ïðèìåð   5. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                              2yy 00 = y 02 + y 2 .                               (1.19)

   Ðåøåíèå.   Ïîëîæèì yx0 = z(y) è, ïðèíÿâ y çà íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëó÷èì yxx
                                                                           00
                                                                              = zy0 yx0 =
zy0 z . Òîãäà óðàâíåíèå (1.19) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                                                    dz
                                              2yz      = z2 + y2.
                                                    dy
                                                    dz 2
Ïîëàãàÿ z 2 = u è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2z dy
                                   dz
                                      =             dy
                                                         ,   ïîëó÷èì

                                                yu0y = u + y 2 .

Ïîëó÷èëè ëèíåéíîå óðàâíåíèå. Ðåøàåì åãî:

                                                u = C1 y + y 2 .

Ñëåäîâàòåëüíî, z 2 = C1 y + y 2 , y 02 = C1 y + y 2 , îòêóäà
                      dy                                          p
                 p                = ±dx ⇒ ln |y + C1 /2 +              C1 y + y 2 | = ±x + C2 .
                    C1 y +   y2
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå:
                                                      y = 0.

Ïðèìåð   6. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                                yy 00 + 1 = y 02 .                                (1.20)

   Ðåøåíèå.   Ïîëîæèì yx0 = z(y), ïîëó÷èì yxx00
                                                = zy0 yx0 = zy0 z . Òîãäà èç (1.20) ñëåäóåò
                                                                   p
                   yzzy0 = z 2 − 1 ⇒ z 2 − 1 = Cy 2 ⇒ y 0 = ± Cy 2 − 1.

Çäåñü âîçíèêàåò òðè âîçìîæíîñòè:

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