Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dz
f(z)
= x + C
1
,
y = ϕ
n
(z, C
2
, . . . , C
n
).
y
000
(3y
002
+ 2y
00
) = 1.
y
000
y
00
= z
y
000
=
1
3y
002
+ 2y
00
, z
0
=
1
3z
2
+ 2z
.
(3z
2
+ 2z)dz = dx,
x = z
3
+ z
2
+ C
1
.
dy
0
= y
00
dx = z(3z
2
+ 2z)dz,
y
0
=
Z
z(3z
2
+ 2z)dz =
3z
4
4
+
2z
3
3
+ C
2
,
dy = y
0
dx =
3z
4
4
+
2z
3
3
+ C
2
(3z
2
+ 2z)dz,
y =
Z
3z
4
4
+
2z
3
3
+ C
2
(3z
2
+ 2z)dz =
9z
7
28
+
7z
6
12
+
4z
5
15
+ C
2
(z
3
+ z
2
) + C
3
.
x = z
3
+ z
2
+ C
1
,
y =
9z
7
28
+
7z
6
12
+
4z
5
15
+ C
2
(z
3
+ z
2
) + C
3
.
y
(n−1)
y
(n−1)
= f(y
(n)
).
y
(n−1)
= z(x)
z = f(z
0
x
).
                                                         13


 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå:
                              R
                                    dz
                             
                                   f (z)
                                         = x + C1 ,
                              y = ϕ (z, C , . . . , C ).
                                                     n        2         n


Ïðèìåð   7. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                         y 000 (3y 002 + 2y 00 ) = 1.                           (1.25)

  Ðåøåíèå.   Ðàçðåøàåì óðàâíåíèå (1.25) îòíîñèòåëüíî y 000 è äåëàåì çàìåíó y 00 = z :
                                                 1                          1
                              y 000 =                    ,    z0 =               .
                                        3y 002   + 2y 00             3z 2   + 2z
Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóåì:

                                          (3z 2 + 2z)dz = dx,

                                           x = z 3 + z 2 + C1 .                                 (1.26)

Ïðîâîäèì öåïü ðàñ÷åòîâ ïî ôîðìóëå (1.24):

      dy 0 = y 00 dx = z(3z 2 + 2z)dz,
                                     3z 4 2z 3
            Z
       0
      y = z(3z 2 + 2z)dz =               +     + C2 ,
                                      4     3
                       4
                                2z 3
                                          
              0         3z
      dy = y dx =             +       + C2 (3z 2 + 2z)dz,
                         4       3
           Z  4
                         2z 3                         9z 7 7z 6 4z 5
                                    
                   3z
      y=              +       + C2 (3z 2 + 2z)dz =        +    +     + C2 (z 3 + z 2 ) + C3 .
                    4     3                           28    12   15



Ïîëó÷àåì ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå:
                     
                      x = z3 + z2 + C ,
                                       1
                      y = 9z7 + 7z6 + 4z5 + C (z 3 + z 2 ) + C .
                             28   12    15    2                3



                   Óðàâíåíèÿ, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî                               y (n−1)

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
                                            y (n−1) = f (y (n) ).                               (1.27)

Äåëàåì çàìåíó y (n−1) = z(x), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

                                                  z = f (zx0 ).                                 (1.28)

Страницы