Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
00
=
dz
0
dx
2z
0
dx
z
0
dx = dz
2z
0
dz
0
= 2f(z)dz.
z
02
=
Z
2f(z)dz + C
1
.
dz
dx
=
s
Z
2f(z)dz + C
1
, x =
Z
dz
q
R
2f(z)dz + C
1
+ C
2
y
(n−2)
= ω(x, C
1
, C
2
)
y
(n−2)
y
(n−2)
= f(y
(n)
).
y
(n−2)
= z(x)
z = f(z
00
xx
).
z
00
= u z = f(u)
dz = f
0
u
du.
dz
02
= 2z
0
dz
0
= 2z
0
z
00
dx = 2z
00
dz = 2udz = 2uf
0
u
du.
z
0
=
s
Z
2uf
0
u
du + C
1
, dx =
dz
q
R
2uf
0
u
du + C
1
.
x =
Z
f
0
u
du
q
R
2uf
0
u
du + C
1
+ C
2
.
y
(n−2)
= ω(x, C
1
, C
2
)
                                                      15


                     dz 0
Ðàñïèñûâàåì z 00 =        , óìíîæàåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.31) íà 2z 0 dx è, èìåÿ â âèäó, ÷òî
                      dx
z 0 dx = dz , ïîëó÷èì
                                             2z 0 dz 0 = 2f (z)dz.

Èíòåãðèðóåì:                                    Z
                                        02
                                       z =          2f (z)dz + C1 .

Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóåì
                    sZ                                      Z
               dz                                                       dz
                  =      2f (z)dz + C1 ,             x=         qR                    + C2   (1.32)
               dx                                                    2f (z)dz + C1

  Äàëåå ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå, ëèáî óðàâíåíèå (1.32) ñâå-
ñòè ê óðàâíåíèþ âèäà y (n−2) = ω(x, C1 , C2 ).

                     Óðàâíåíèÿ, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî                        y (n−2)

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
                                             y (n−2) = f (y (n) ).

Äåëàåì çàìåíó y (n−2) = z(x), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
                                                        00
                                                z = f (zxx ).                                (1.33)

Ïîëîæèì z 00 = u: z = f (u). Îòñþäà
                                                dz = fu0 du.                                 (1.34)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

                      dz 02 = 2z 0 dz 0 = 2z 0 z 00 dx = 2z 00 dz = 2udz = 2ufu0 du.         (1.35)

Èíòåãðèðóåì                  sZ
                                                                         dz
                      z0 =        2ufu0 du + C1 ,          dx = qR                    .
                                                                      2ufu0 du + C1
Ïîäñòàâëÿåì ôîðìóëó (1.34) è èíòåãðèðóåì
                                       fu0 du
                               Z
                            x=    q R               + C2 .                                   (1.36)
                                      2ufu0 du + C1

  Äàëåå ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå, ëèáî óðàâíåíèå (1.36) ñâå-
ñòè ê óðàâíåíèþ âèäà y (n−2) = ω(x, C1 , C2 ).

Страницы