Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y, y
0
, . . . , y
(n)
) = 0
y → ky , y
0
→ ky
0
, . . . , y
(n)
→ ky
(n)
F (x, ky, ky
0
, . . . , ky
(n)
) = k
m
F (x, y, y
0
, . . . , y
(n)
).
y
0
= yz,
z z = z(x)
y
0
yz
y
00
= y
0
z + yz
0
= y(z
2
+ z
0
),
y
000
= y(z
3
+ 3zz
0
+ z
00
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(n)
= yω(z, z
0
, . . . , z
(n−1)
).
y
0
, y
00
, . . . , y
(n)
F (x, y, yz, y(z
2
+ z
0
), . . . , yω(z, z
0
, . . . , z
(n−1)
)) = 0.
F
y
m
F (x, 1, z, (z
2
+ z
0
), . . . , ω(z, z
0
, . . . , z
(n−1)
)) = 0.
y
m
y = 0
F (x, 1, z, (z
2
+ z
0
), . . . , ω(z, z
0
, . . . , z
(n−1)
)) = 0.
(n − 1)
z = ϕ(x, C
1
, C
2
, . . . , C
n−1
),
z y
0
/y
y
0
/y = ϕ(x, C
1
, C
2
, . . . , C
n−1
).
y = C
n
exp
Z
ϕ(x, C
1
, C
2
, . . . , C
n−1
)dx
.
                                                         16


1.6    Óðàâíåíèÿ, îäíîðîäíûå îòíîñèòåëüíî èñêîìîé ôóíêöèè è åå

                                                  ïðîèçâîäíûõ


Îïðåäåëåíèå    1.1. Óðàâíåíèå
                                         F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0                      (1.37)
íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì îòíîñèòåëüíî èñêîìîé ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíûõ, åñëè ïðè çà-
ìåíå y → ky , y 0 → ky 0 , . . . , y (n) → ky (n) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

                       F (x, ky, ky 0 , . . . , ky (n) ) = k m F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ).

   Óðàâíåíèå (1.37) ïîíèæàåòñÿ íà åäèíèöó, åñëè ïîëîæèòü

                                                    y 0 = yz,                                    (1.38)

ãäå z - íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ: z = z(x).
   Äèôôåðåíöèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíî ôîðìóëó (1.38) è çàìåíÿåì êàæäûé ðàç y 0 íà yz :
                         
                         
                         
                            y 00 = y 0 z + yz 0 = y(z 2 + z 0 ),
                         
                         
                          y 000 = y(z 3 + 3zz 0 + z 00 ),
                         

                                   
                                   
                                    ...........................
                                   
                                   
                                    y (n) = yω(z, z 0 , . . . , z (n−1) ).
                                   

Ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèå äëÿ y 0 , y 00 , . . . , y (n) â óðàâíåíèå (1.37):

                      F (x, y, yz, y(z 2 + z 0 ), . . . , yω(z, z 0 , . . . , z (n−1) )) = 0.

Ýòî óðàâíåíèå âñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ îäíîðîäíîñòè ôóíêöèè F ìîæíî çàïèñàòü òàê:

                      y m F (x, 1, z, (z 2 + z 0 ), . . . , ω(z, z 0 , . . . , z (n−1) )) = 0.

Äåëèì íà y m (ïðè ýòîì ïîòåðè ðåøåíèÿ y = 0 íå ïðîèñõîäèò), ïîëó÷àåì

                        F (x, 1, z, (z 2 + z 0 ), . . . , ω(z, z 0 , . . . , z (n−1) )) = 0.

Ýòî óðàâíåíèå (n − 1) - ãî ïîðÿäêà. Åñëè ìû íàéäåì åãî îáùåå ðåøåíèå

                                      z = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn−1 ),

òî, çàìåíèâ z íà y 0 /y , ïîëó÷èì

                                    y 0 /y = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn−1 ).

Èíòåãðèðóåì                                Z                                        
                           y = Cn exp            ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn−1 )dx .

Ýòî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.37).

Страницы