Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t z
d
dx
=
e
−t
d
dt
y
0
x
, y
00
x
. . . , y
(n)
x
y
0
x
=
dy
dt
e
−t
=
dz
dt
e
mt
+ mze
mt
=
dz
dt
+ mz
e
mt
,
y
00
x
=
dy
0
dt
e
−t
=
d
2
z
dt
2
+ (2m − 1)
dz
dt
+ m(m − 1)z
e
(m−2)t
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(n)
x
= ω
z,
dz
dt
, . . . ,
d
n
z
dt
n
e
(m−n)t
.
e
mt
t
x < 0 x = −e
t
x
4
y
00
+ (xy
0
− y)
3
= 0.
m
x y y
0
y
00
1 m (m −1)
(m − 2) 4 + m − 2 = 3(1 + m − 1) = 3m m = 1
x = e
t
y = ze
t
y
0
=
dy
dt
e
−t
=
dz
dt
+ z
,
y
00
=
dy
0
dt
e
−t
=
d
2
z
dt
2
+
dz
dt
e
−t
,
e
4t
d
2
z
dt
2
+
dz
dt
e
−t
+
e
t
dz
dt
+ z
− ze
t
3
= 0 ⇒
d
2
z
dt
2
+
dz
dt
+
dz
dt
3
= 0.
dz
dt
= u(z) z
d
2
z
dt
2
=
du
dt
=
du
dz
dz
dt
=
du
dz
u.
du
dz
u + u + u
3
= 0 ⇒
du
dz
+ 1 + u
2
= 0.
u = tg(C
1
− z) u
dz
dt
dz
dt
= tg(C
1
− z) ⇒
dz
−tg(z − C
1
)
= dt ⇒ ln |sin(z −C
1
)| = −t + ln |C
2
|.
x y
ln |sin(y/x −C
1
)| = −ln x + ln |C
2
| ⇒ y = x(C
1
+ arcsin(C
2
/x)).
                                                          18


ãäå t  íîâàÿ íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ è z  íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ. Òàê êàê                    d
                                                                                                dx
                                                                                                     =
                                          (n)
e−t dtd ,   òî ïðîèçâîäíûå yx0 , yx00 . . . ,
                                         yx         ïðåîáðàçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                    
                     yx0 = dy     −t          dz mt               dz
                                                           mt
                                                                           mt
                    
                              dt
                                 e      =         e  + mze      =     + mz  e ,
                    
                    
                                0
                                              dt 2                dt
                                                                              
                     y 00 = dy e−t = d 2z + (2m − 1) dz + m(m − 1)z e(m−2)t ,
                    
                         x    dt                dt              dt
                                                                                               (1.43)
                     
                     
                     
                      .........................................................
                     
                      y (n) = ω z, dz , . . . , dn z  e(m−n)t .
                     
                        x           dt           dtn

    Âûïîëíèâ òåïåðü â óðàâíåíèå (1.40) ïîäñòàíîâêó (1.42) è ñäåëàâ çàìåíó ïî ôîðìóëå
(1.43), ïîëó÷èì óðàâíåíèå, êîòîðîå ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà emt îáðàòèòñÿ â óðàâíåíèå, íå
ñîäåðæàùåå t. Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ïîíèæåíèå ïîðÿäêà íà åäèíèöó.
    Åñëè â óðàâíåíèè (1.40) x < 0, òî ñëåäóåò ïîëîæèòü x = −et .
Ïðèìåð        9. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                          x4 y 00 + (xy 0 − y)3 = 0.                           (1.44)

    Ðåøåíèå.       Ïîêàæåì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå îáîáùåííî-îäíîðîäíîå, ò.å íàéäåì ÷èñëî m.
Ïðèðàâíèâàåì èçìåðåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî x, y , y 0 , y 00 ñîîòâåòñòâóþò 1, m, (m − 1)
è (m − 2) èçìåðåíèÿ, òîãäà 4 + m − 2 = 3(1 + m − 1) = 3m, îòêóäà m = 1. Òåïåðü äåëàåì
ïîäñòàíîâêó x = et , y = zet . Òàê êàê
                               
                                y0 =           dy −t          dz
                                                                      
                                                dt
                                                   e    =      dt
                                                                    +z ,
                                                                                  
                                      y 00 =   dy 0 −t            d2 z
                                                dt
                                                    e     =        dt2
                                                                          +   dz
                                                                              dt
                                                                                       e−t ,

òî óðàâíåíèå (1.44) ïðèìåò âèä
             2                                3               3
                                                     d2 z dz
                                    
         4t  d z dz       −t   t dz          t                  dz
        e       2
                  +      e + e      + z − ze      =0⇒ 2 +    +      = 0.
             dt     dt           dt                  dt   dt    dt
Ïîëîæèì çäåñü          dz
                       dt
                            = u(z) è z çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ. Òîãäà
                            d2 z   du   du dz   du
                               2
                                 =    =       =    u.
                             dt    dt   dz dt   dz
Ïîýòîìó óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ òàê:
                                   du                  du
                                      u + u + u3 = 0 ⇒    + 1 + u2 = 0.
                                   dz                  dz
    Èíòåãðèðóåì u = tg(C1 − z). Çàìåíèì u íà                   dz
                                                               dt
                                                                  :
                dz                     dz
                   = tg(C1 − z) ⇒               = dt ⇒ ln | sin(z − C1 )| = −t + ln |C2 |.
                dt                − tg(z − C1 )
Âîçâðàùàåìñÿ ê ïåðåìåííûì x è y :

                    ln | sin(y/x − C1 )| = − ln x + ln |C2 | ⇒ y = x(C1 + arcsin(C2 /x)).

Страницы