Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ = 1/(yy
0
)
y
00
/y
0
= y
0
/y.
y
0
= C
1
y
y = C
2
e
C
1
x
.
y
00
= xe
x
, y(1) = 1, y
0
(1) = 2
x
3
y
IV
= 1 y = 2x(ln x − 1) + C
1
x
3
+ C
2
x
2
+ C
3
x + C
4
x = e
−y
00
+ y
00
x − sin y
00
+ 2y
00
= 0
y
000
tg 3x = 3y
00
(1 + x
2
)y
00
+ 2xy
0
= 2x
x
4
y
00
+ x
3
y
0
= 1
y
00
= 2yy
0
y
3
y
00
= 1
y
00
= 8 sin
3
y cos y, y(1) = π/2, y
0
(1) = 2
y
3
y
00
= 4(y
4
− 1), y(0) =
√
2, y
0
(0) =
√
2
y
000
+ y
003
= 0
y
002
− 3y
0
+ 2 = 0
y
0002
+ y
002
= 1
yy
0
=
p
y
2
+ y
02
y
00
− y
0
y
00
x
2
y
00
y −(x
2
+ 1)y
02
= 0
x
2
yy
00
= (y −xy
0
)
2
yy
0
+ xyy
00
− xy
02
= x
3
y
00
=
2xy −
5
x
y
0
+ 4y
2
−
4y
x
2
y
00
= y
02
y
(1 + y
02
)y
000
− 3y
0
y
002
= 0
y
00
+ y
0
cos x − y sin x = 0
y = e
x
(x − 2) + 2x + e − 1
y = 2x(ln x − 1) + C
1
x
3
+ C
2
x
2
+ C
3
x + C
4
x = e
−t
+ t,
y =
t
2
+
3
4
e
−2t
+
t
2
2
− 1 + C
1
e
−t
+
t
3
6
+ C
1
t + C
2
.
                                                             20


  Ðåøåíèå.       Ýòî óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ, íî, óìíîæèâ
îáå åãî ÷àñòè íà ôóíêöèþ µ = 1/(yy 0 ), ïîëó÷èì óðàâíåíèå â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ

                                                     y 00 /y 0 = y 0 /y.

Åãî ïåðâûì èíòåãðàëîì áóäåò y 0 = C1 y , îòêóäà

                                                     y = C2 eC1 x .

  Íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

  1.   y 00 = xex , y(1) = 1, y 0 (1) = 2.
  2.   x3 y IV = 1; y = 2x(ln x − 1) + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4
                 00
  3.   x = e−y + y 00 .
  4.   x − sin y 00 + 2y 00 = 0.
  5.y 000 tg 3x = 3y 00 .
  6.   (1 + x2 )y 00 + 2xy 0 = 2x.
  7.   x4 y 00 + x3 y 0 = 1.
  8.   y 00 = 2yy 0 .
  9.   y 3 y 00 = 1.
  10.   y 00 = 8 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y 0 (1) = 2.
                                     √              √
  11.   y 3 y 00 = 4(y 4 − 1), y(0) = 2, y 0 (0) = 2.
  12.   y 000 + y 003 = 0.
  13.   y 002 − 3y 0 + 2 = 0.
  14.   y 0002 + y 002 = 1.
        yy 0 = y 2 + y 02 y 00 − y 0 y 00 .
                p
  15.

  16.   x2 y 00 y − (x2 + 1)y 02 = 0.
  17.   x2 yy 00 = (y − xy 0 )2 .
  18.   yy 0 + xyy 00 − xy 02 = x3 .
        y 00 = 2xy − x5 y 0 + 4y 2 −          4y
                                                 .
                         
  19.
                                              x2
  20.   y 00 = y 02 y .
  21.   (1 + y 02 )y 000 − 3y 0 y 002 = 0.
  22.   y 00 + y 0 cos x − y sin x = 0.
  Îòâåòû:

  1.   y = ex (x − 2) + 2x + e − 1.
  2.   y = 2x(ln x − 1) + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4 .
       
        x = e−t + t,
  3.                                      
        y = t + 3  e−2t + t2 − 1 + C1 e−t + t3 + C1 t + C2 .
                 2   4           2                    6

Страницы