Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y, y
0
, . . . , y
(n)
) = 0
Φ(x, y, y
0
, . . . , y
(n−1)
)
F (x, y, y
0
, . . . , y
(n−1)
) =
d
dx
Φ(x, y, y
0
, . . . , y
(n−1)
),
Φ(x, y, y
0
, . . . , y
(n−1)
) = C
1
µ = µ(x, y, y
0
, . . . , y
(n−1)
)
y
00
y
0
−
2yy
0
1 + y
2
= 0.
y
00
y
0
−
2yy
0
1 + y
2
= (ln |y
0
| − ln(1 + y
2
))
0
,
ln |y
0
| − ln(1 + y
2
) = ln |C
1
| y
0
= A(1 + y
2
), A = ±C
1
.
arctg y = Ax + B.
yy
00
= y
02
.
                                                               19


                          1.8      Ìåòîä èíòåãðèðóåìûõ êîìáèíàöèé


Îïðåäåëåíèå        1.3. Åñëè â óðàâíåíèè

                                                F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0                           (1.45)

ëåâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé ïðîèçâîäíîé îò íåêîòîðîé ôóíêöèè
Φ(x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ), ò.å.
                                                                    d
                              F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) =      Φ(x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ),
                                                                   dx
òî
                                              Φ(x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) = C1                           (1.46)

áóäåò ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (1.45). Ìîæåò ñëó÷èòñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (1.46), â ñâîþ
î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ. Òîãäà ìû íàéäåì âòîðîé èíòåãðàë
óðàâíåíèÿ (1.45).
     Åñëè óðàâíåíèå (1.45) íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ, òî íóæíî ïî-
ïûòàòüñÿ ïîäîáðàòü òàêóþ ôóíêöèþ µ = µ(x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) - èíòåãðèðóþùèé ìíîæè-
òåëü    óðàâíåíèÿ (1.45), ÷òîáû ïîñëå óìíîæåíèÿ íà íåå óðàâíåíèå (1.45) ñòàëî óðàâíåíèåì
â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ.
Ïðèìåð      10. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                                                     y 00    2yy 0
                                                          −        = 0.                                      (1.47)
                                                     y0     1 + y2
     Ðåøåíèå.     Òàê êàê â ëåâîé ÷àñòè ó êàæäîé èç äðîáåé â ÷èñëèòåëå ñòîèò ïðîèçâîäíàÿ
îò çíàìåíàòåëÿ, òî ìû èìååì
                                        y 00    2yy 0
                                             −        = (ln |y 0 | − ln(1 + y 2 ))0 ,
                                        y0     1 + y2
ò.å. óðàâíåíèå (1.47) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â òî÷íûõ ïðîèçâîäíûõ. Îíî èìååò ïåðâûé èí-
òåãðàë
                     ln |y 0 | − ln(1 + y 2 ) = ln |C1 | èëè y 0 = A(1 + y 2 ),                  A = ±C1 .
     Èíòåãðèðóÿ åùå ðàç, íàõîäèì

                                                    arctg y = Ax + B.

Ýòî îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.47).
Ïðèìåð      11. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                                          yy 00 = y 02 .                                     (1.48)

Страницы