Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

xyy
00
− xy
02
− yy
0
= 0.
y →
ky , y
0
→ ky
0
, y
00
→ ky
k
2
yy
00
− k
2
xy
02
− k
2
yy
0
= 0.
k
2
xyy
00
− xy
02
− yy
0
= 0.
y
0
= yz y
00
= y(z
2
+ z
0
) y
0
y
00
y
2
x(z
2
+ z
0
) − xz
2
− z = 0 xz
0
− z = 0.
z = C
1
x z y
0
/y y
0
/y = C
1
y = C
2
e
(C
1
/2)x
2
.
F (x, y, y
0
. . . , y
(n)
) = 0,
x → kx , y → k
m
y , y
0
→ k
m−1
y
0
, . . . , y
(n)
→ k
m−n
y
(n)
F (kx, k
m
y, k
m−1
y
0
, . . . , k
m−n
y
(n)
) = k
s
F (x, y, y
0
, . . . , y
(n)
).
m
k
m
x = e
t
, y = ze
mt
,
                                                           17


Ïðèìåð   8. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                            xyy 00 − xy 02 − yy 0 = 0.                                    (1.39)

   Ðåøåíèå.    Ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòî óðàâíåíèå îäíîðîäíûì. Äåëàåì çàìåíó y →
ky , y 0 → ky 0 , y 00 → ky â óðàâíåíèè (1.39):

                                        k 2 yy 00 − k 2 xy 02 − k 2 yy 0 = 0.

Äåëèì óðàâíåíèå íà k 2 , ïîëó÷àåì èñõîäíîå óðàâíåíèå

                                            xyy 00 − xy 02 − yy 0 = 0.

Óðàâíåíèå îäíîðîäíî.
   Ïîëàãàÿ y 0 = yz , ïîëó÷àåì y 00 = y(z 2 + z 0 ). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ y 0 è y 00 â óðàâ-
íåíèå (1.39) è ñîêðàùàÿ íà y 2 , ïîëó÷àåì

                            x(z 2 + z 0 ) − xz 2 − z = 0 èëè xz 0 − z = 0.

Èíòåãðèðóåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå z = C1 x. Çàìåíèì z íà y 0 /y : y 0 /y = C1 . Èíòåãðèðóåì
åùå ðàç, ïîëó÷àåì
                                                                     2
                                                 y = C2 e(C1 /2)x .


                    1.7       Îáîáùåííî-îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ


Îïðåäåëåíèå    1.2. Óðàâíåíèå
                                           F (x, y, y 0 . . . , y (n) ) = 0,                              (1.40)

íàçûâàåòñÿ îáîáùåííî-îäíîðîäíûì, åñëè ïðè çàìåíå

                      x → kx , y → k m y , y 0 → k m−1 y 0 , . . . , y (n) → k m−n y (n)                  (1.41)

âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

                  F (kx, k m y, k m−1 y 0 , . . . , k m−n y (n) ) = k s F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ).

   ×òîáû íàéòè ÷èñëî m, íàäî ïðèðàâíÿòü äðóã ê äðóãó ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, â êîòîðûõ
÷èñëî k áóäåò âõîäèòü â êàæäûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ ïîñëå çàìåíû (1.41).
   Ïîñëå òîãî, êàê ÷èñëî m íàéäåíî, íàäî ñäåëàòü çàìåíó

                                                x = et , y = zemt ,                                       (1.42)

Страницы