Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ a
2
y
(n−2)
+ . . . + a
n−1
y
0
+ a
n
y = 0,
a
1
, a
2
, . . . , a
n
y
1
, y
2
, . . . , y
n
x
y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
+ . . . + C
n
y
n
.
λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ a
2
λ
n−2
+ . . . + a
n−1
λ + a
n
= 0
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
y
1
= e
λ
1
x
, y
2
=
e
λ
2
x
, . . . , y
n
= e
λ
n
x
y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
+ . . . + C
n
e
λ
n
x
.
λ
1
= a + bi
 Ãëàâà 2.              Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè

                                 êîýôôèöèåíòàìè




                 2.1     Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ. Ìåòîä Ýéëåðà


Îïðåäåëåíèå    2.1. Óðàâíåíèå âèäà

                       y (n) + a1 y (n−1) + a2 y (n−2) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0,    (2.1)

ãäå a1 , a2 , . . . , an - ïîñòîÿííûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì
óðàâíåíèåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
   Ýòî óðàâíåíèå èìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé y1 , y2 , . . . , yn , îïðåäåëåííóþ
ïðè âñåõ x è ñîñòîÿùóþ èç ñòåïåííûõ, ïîêàçàòåëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Åé ñîîòâåòñòâóåò îáùåå ðåøåíèå

                                   y = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn .

   ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (2.1), íàäî ñîñòàâèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                          λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + . . . + an−1 λ + an = 0               (2.2)

è íàéòè åãî êîðíè - õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà óðàâíåíèÿ (2.2).
   Ñòðóêòóðà ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé çàâèñèò îò âèäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
÷èñåë óðàâíåíèÿ (2.2). Ðàçëè÷àþò òðè ñëó÷àÿ.
   1. Âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íû è âåùåñòâåííû. Îáîçíà÷èì
èõ ÷åðåç λ1 , λ2 , . . . , λn . Òîãäà ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé áóäåò y1 = eλ1 x , y2 =
eλ2 x , . . . , yn = eλn x , à îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä

                                y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + . . . + Cn eλn x .

   2. Âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íû, íî ñðåäè íèõ èìåþòñÿ êîì-
ïëåêñíûå.   Ïóñòü λ1 = a + bi - êîìïëåêñíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà

Страницы