Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
1
= 0 λ
2
= 1 λ
3
= 2
y
1
= 1 y
2
= e
x
y
3
= e
2x
y = C
1
+ C
2
e
x
+ C
3
e
2x
y
000
+ 3y
00
+ 9y
0
− 13y = 0.
λ
3
+ 3λ
2
+ 9λ − 13 = 0.
(λ − 1)(λ
2
+ 4λ + 13) = 0 ⇒ λ
1
= 1, λ
2
+ 4λ + 13 = 0.
λ
2
+ 4λ + 13 = 0 a = 1 b = 4 c = 13
D = b
2
− 4ac = −36 λ
2
=
−b+
√
D
2a
= −2 +
√
−36/2 = −2 + 3
√
−1 = −2 + 3i
λ
3
=
−b−
√
D
2a
= −2 −
√
−36/2 = −2 − 3i
λ
1
= 1
λ
2
= −2+3i λ
3
= −2−3i y
1
= e
x
y
2
= e
−2x
cos 3x y
3
= e
−2x
sin 3x
y = C
1
e
x
+ e
−2x
(C
2
cos 3x + C
3
sin 3x)
y
000
− 5y
00
+ 8y
0
− 4y = 0.
λ
3
− 5λ
2
+ 8λ − 4 = 0
(λ − 1)(λ − 2)
2
= 0,
λ
1
= 1 λ
2
= λ
3
= 2
y
1
= e
x
y
2
= e
2x
y
3
= xe
2x
y = C
1
e
x
+ e
2x
(C
2
+ C
3
x).
                                              24


èìååò ðàçëè÷íûå âåùåñòâåííûå êîðíè λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2, ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü
ôóíêöèé y1 = 1, y2 = ex , y3 = e2x áóäåò ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé, à

                                  y = C1 + C2 ex + C3 e2x

ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3).
Ïðèìåð   2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                y 000 + 3y 00 + 9y 0 − 13y = 0.                  (2.4)

  Ðåøåíèå.   Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì áóäåò

                                 λ3 + 3λ2 + 9λ − 13 = 0.

Ðàçëàãàåì ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè:

                 (λ − 1)(λ2 + 4λ + 13) = 0 ⇒ λ1 = 1,         λ2 + 4λ + 13 = 0.

Íàéäåì êîðíè óðàâíåíèÿ λ2 + 4λ + 13 = 0. Çäåñü a = 1, b = 4 è c = 13. Äèñêðèìèíàíò
                                     √          √                 √
D = b2 − 4ac = −36, êîðíè λ2 = −b+2a D = −2 + −36/2 = −2 + 3 −1 = −2 + 3i è
         √         √
λ3 = −b−2a D = −2 − −36/2 = −2 − 3i.
  Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü λ1 = 1
è äâà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíÿ λ2 = −2+3i, λ3 = −2−3i. Ïîýòîìó ôóíêöèè y1 = ex ,
y2 = e−2x cos 3x, y3 = e−2x sin 3x îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, à

                          y = C1 ex + e−2x (C2 cos 3x + C3 sin 3x)

ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.4).
Ïðèìåð   3. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                 y 000 − 5y 00 + 8y 0 − 4y = 0.

  Ðåøåíèå.   Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                                  λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 = 0

Ðàçëàãàåì ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè:

                                   (λ − 1)(λ − 2)2 = 0,

îòñþäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êîðíè λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2. Îäèí êîðåíü ïðîñòîé, äðóãîé 
äâóêðàòíûé. Ïîýòîìó y1 = ex , y2 = e2x , y3 = xe2x . Îáùåå ðåøåíèå

                                y = C1 ex + e2x (C2 + C3 x).

Страницы