Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
(4)
+ 4y
000
+ 8y
00
+ 8y
0
+ 4y = 0.
λ
4
+ 4λ
3
+ 8λ
2
+ 8λ + 4 = 0.
(λ
2
+ 2λ + 2)
2
= 0.
λ
1
= λ
2
= −1 + i λ
3
= λ
4
= −1 − i
y
1
= e
−x
cos x, y
2
= xe
−x
cos x,
y
3
= e
−x
sin x, y
3
= xe
−x
sin x
y = e
−x
((C
1
+ C
2
x) cos x + (C
3
+ C
4
x) sin x).
y
00
− 2y
0
+ y = 0,
y(2) = 1,
y
0
(2) = −2.
λ
2
− 2λ + 1 = 0.
(λ − 1)
2
= 0.
λ = 1 k = 2
y = (C
1
+ C
2
x)e
x
.
C
1
C
2
(C
1
+ 2C
2
)e
2
= 1,
(C
1
+ C
2
+ 2C
2
)e
2
= −2
                                                25


Ïðèìåð   4. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                              y (4) + 4y 000 + 8y 00 + 8y 0 + 4y = 0.

    Ðåøåíèå.   Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                                λ4 + 4λ3 + 8λ2 + 8λ + 4 = 0.

Ðàçëàãàåì ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè:

                                       (λ2 + 2λ + 2)2 = 0.

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ λ1 = λ2 = −1 + i, λ3 = λ4 = −1 − i  ýòî ñëó÷àé
äâóêðàòíûõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíåé. Ïîýòîìó
                         
                          y = e−x cos x, y = xe−x cos x,
                             1             2
                          y = e−x sin x, y = xe−x sin x
                                   3                 3

è
                        y = e−x ((C1 + C2 x) cos x + (C3 + C4 x) sin x).
Ïðèìåð   5. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                        y 00 − 2y 0 + y = 0,

óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                
                                 y(2) = 1,
                                 y 0 (2) = −2.

    Ðåøåíèå.   Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                                        λ2 − 2λ + 1 = 0.

Ðàçëàãàåì ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè:

                                          (λ − 1)2 = 0.

Óðàâíåíèå èìååò îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü λ = 1 êðàòíîñòè k = 2. Ïîýòîìó îáùåå
ðåøåíèå èìååò âèä
                                       y = (C1 + C2 x)ex .
    Ïîäñòàâèâ â îáùåå ðåøåíèå ïîî÷åðåäíî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíå-
íèé íà C1 è C2 :
                                
                                 (C + 2C )e2 = 1,
                                    1     2
                                 (C + C + 2C )e2 = −2
                                    1   2      2

Страницы