Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
2
= a − bi
y
1
= e
ax
cos bx, y
2
= e
ax
sin bx.
λ
1,2
= a ± bi
e
ax
(C
1
cos bx + C
2
sin bx).
λ
1
k k
e
λ
1
x
, xe
λ
1
x
, . . . , x
k−1
e
λ
1
x
e
λ
1
x
(C
1
+ C
2
x + . . . + C
k
x
k−1
).
λ
1
= a+bi k
λ
2
= a −bi 2k
e
ax
cos bx, xe
ax
cos bx, . . . , x
k−1
e
ax
cos bx,
e
ax
sin bx, xe
ax
sin bx, . . . , x
k−1
e
ax
sin bx.
e
ax
((C
1
+ C
2
x + . . . + C
k
x
k−1
) cos bx + (C
1
+ C
2
x + . . . + C
k
x
k−1
) sin bx).
y
000
− 3y
00
+ 2y
0
= 0.
λ
3
− 3λ
2
+ 2λ = 0 ⇒ λ(λ − 1)(λ − 2) = 0
                                                       23


λ2 = a − bi òîæå áóäåò êîðíåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ýòèì äâóì êîðíÿì ñîîòâåòñòâóþò äâà
ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ:

                                    y1 = eax cos bx,        y2 = eax sin bx.

   Çàïèñàâ ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå äðóãèì ñîïðÿæåí-
íûì ïàðàì êîìïëåêñíûõ êîðíåé è âñåì âåùåñòâåííûì êîðíÿì, ïîëó÷èì ôóíäàìåíòàëü-
íóþ ñèñòåìó ðåøåíèé. Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ ðåøåíèé ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííû-
ìè êîýôôèöèåíòàìè äàñò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1). Ïðè ýòîì êîðíÿì λ1,2 = a ± bi
â ôîðìóëå îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå âèäà

                                        eax (C1 cos bx + C2 sin bx).

   3. Ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþòñÿ êðàòíûå. Ïóñòü λ1 - âå-
ùåñòâåííûé k - êðàòíûé êîðåíü. Òîãäà åìó ñîîòâåòñòâóåò k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ÷àñò-
íûõ ðåøåíèé âèäà eλ1 x , xeλ1 x , . . . , xk−1 eλ1 x , â ôîðìóëå îáùåãî ðåøåíèÿ - âûðàæåíèå âèäà
eλ1 x (C1 + C2 x + . . . + Ck xk−1 ).
   Åñëè λ1 = a + bi - êîìïëåêñíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè k , òî
åìó è ñîïðÿæåííîìó ñ íèì êîðíþ λ2 = a − bi òîé æå êðàòíîñòè ñîîòâåòñòâóåò 2k ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ âèäà
                    
                     eax cos bx, xeax cos bx, . . . , xk−1 eax cos bx,
                     eax sin bx, xeax sin bx, . . . , xk−1 eax sin bx.

 ôîðìóëå îáùåãî ðåøåíèÿ ýòèì êîðíÿì ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèå âèäà

            eax ((C1 + C2 x + . . . + Ck xk−1 ) cos bx + (C1 + C2 x + . . . + Ck xk−1 ) sin bx).

   Çàïèñàâ ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óêàçàííîãî âûøå âèäà, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå âñåì ïðîñòûì è êðàòíûì âåùåñòâåííûì êîðíÿì, à òàêæå ñîïðÿæåííûì ïàðàì ïðî-
ñòûõ è êðàòíûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé, ïîëó÷èì ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé.
   Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ ðåøåíèé ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
äàñò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1).
Ïðèìåð    1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                           y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0.                               (2.3)

   Ðåøåíèå.    Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                               λ3 − 3λ2 + 2λ = 0 ⇒ λ(λ − 1)(λ − 2) = 0

Страницы