Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 27 стр.

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КФУ | Казань

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λ
0
λ
3
y
1
= e
√
2x
sin
√
2x, y
2
= e
√
2x
cos
√
2x.
λ
1
λ
2
y
3
= e
−
√
2x
sin
√
2x, y
4
= e
−
√
2x
cos
√
2x.
y = C
1
e
√
2x
sin
√
2x + C
2
e
√
2x
cos
√
2x + C
3
e
−
√
2x
sin
√
2x + C
4
e
−
√
2x
cos
√
2x.
y
00
− 6y
0
+ 8y = 0
y
00
− 16y = 0
y
00
− y
0
− 2y = 0
y
00
+ y
0
= 0
y
00
− y
0
+ y = 0
y
00
+ 2y
0
+ 2y = 0
y
00
+ π
2
y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 1
y
00
+ 4y
0
+ 4y = 0
y
IV
+ 2y
000
+ y
00
= 0
y
IV
+ 8y
00
+ 16y = 0
y
000
+ 8y = 0
y
IV
− y = 0
y = C
1
e
4x
+ C
2
e
2x
y = C
1
e
−4x
+ C
2
e
4x
y = C
1
e
−x
+ C
2
e
2x
y = C
1
+ C
2
e
−x
y = e
x/2
C
1
cos
√
3
2
x + C
2
sin
√
3
2
x
y = e
−x
(C
1
cos x + C
2
sin x)
y = −
1
π
sin πx y = e
−2x
(C
1
+ C
2
x) y = e
−x
(C
1
+ C
2
x) + C
3
+ C
4
x y =
(C
1
+ C
2
x) cos 2x + (C
3
+ C
4
x) sin 2x y = e
x
C
1
cos
√
3x + C
2
sin
√
3x
+ C
3
e
−2x
y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
+ C
3
cos x + C
4
sin x
y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ a
2
y
(n−2)
+ . . . + a
n−1
y
0
+ a
n
y = f(x)
y
0
y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ a
2
y
(n−2)
+ . . . + a
n−1
y
0
+ a
n
y = 0.
                                                                           27


   Ïàðå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë λ0 è λ3 ñîîòâåòñòâóþò äâà ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ:
                                                  √
                                                      2x
                                                                 √                   √
                                                                                          2x
                                                                                                  √
                                         y1 = e            sin       2x,        y2 = e         cos 2x.

Äëÿ λ1 è λ2
                                                  √              √                        √           √
                                        y3 = e−       2x
                                                           sin       2x,        y4 = e−       2x
                                                                                                   cos 2x.

   Îáùåå ðåøåíèå
                     √              √             √               √                  √              √                √           √
           y = C1 e      2x
                              sin       2x + C2 e      2x
                                                            cos        2x + C3 e−        2x
                                                                                              sin       2x + C4 e−       2x
                                                                                                                              cos 2x.

   Íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

   23.   y 00 − 6y 0 + 8y = 0.
   24.   y 00 − 16y = 0.
   25.   y 00 − y 0 − 2y = 0.
   26.   y 00 + y 0 = 0.
   27.   y 00 − y 0 + y = 0.
   28.   y 00 + 2y 0 + 2y = 0.
   29.   y 00 + π 2 y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
   30.   y 00 + 4y 0 + 4y = 0.
   31.   y IV + 2y 000 + y 00 = 0.
   32.   y IV + 8y 00 + 16y = 0.
   33.   y 000 + 8y = 0.
   34.   y IV − y = 0.
   Îòâåòû: 23.   y = C1 e4x + C2 e2x . 24. y = C1 e−4x +C2 e4x . 25. y = C1 e−x + C2 e2x . 26.
                                         √           √
y = C1 + C2 e−x . 27. y = ex/2 C1 cos 23 x + C2 sin 23 x . 28. y = e−x (C1 cos x + C2 sin x).
29.   y = − π1 sin πx.        30.   y = e−2x (C1 + C2 x).                    y = e−x (C1 + C2 x) + C3 + C4 x. 32. y =
                                                                            31.
                                                                                     √            √ 
(C1 + C2 x) cos 2x + (C3 + C4 x) sin 2x.                         33.    y = ex C1 cos 3x + C2 sin 3x + C3 e−2x . 34.
y = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x.


                                    2.2       Íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ


Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå

                              y (n) + a1 y (n−1) + a2 y (n−2) + . . . + an−1 y 0 + an y = f (x)                                         (2.5)

ðåøàåòñÿ â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå íàõîäèòñÿ îáùåå ðåøåíèå y0 ñîîòâåòñòâóþùåãî
îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

                               y (n) + a1 y (n−1) + a2 y (n−2) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0.

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