Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
x
(5 cos 2x − 4 sin 2x) → γ = 1 ± 2i;
e
x
+ x
2
− x → γ
1
= 1, γ
2
= 0;
e
x
+ xe
−x
→ γ
1
= 1, γ
2
= −1;
e
x
sin x + e
−x
cos x → γ
1
= 1 ± i, γ
2
= −1 ± i;
sin 2x + cos 3x → γ
1
= ±2i, γ
2
= ±3i;
y
00
− y = x
2
.
y
00
− y = 0.
λ
2
− 1 = 0
λ
1
= 1 λ
2
= −1
y
0
= C
1
e
x
+ C
2
e
−x
.
γ = 0
y
1
= Ax
2
+ Bx + C.
y
00
1
y
1
2A − Ax
2
− Bx − C = x
2
.
A B C
x
0
2A − C = 0,
x − B = 0,
x
2
− A = 1.
A = −1 B = 0 C = −2
y
1
= −x
2
− 2.
y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
− x
2
− 2.
                                                  29


  ex (5 cos 2x − 4 sin 2x) → γ = 1 ± 2i;
  ex + x2 − x → γ1 = 1,      γ2 = 0;
   x       −x
  e + xe        → γ1 = 1,   γ2 = −1;
  ex sin x + e−x cos x → γ1 = 1 ± i,     γ2 = −1 ± i;
  sin 2x + cos 3x → γ1 = ±2i,     γ2 = ±3i;
Ïðèìåð   7. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                            y 00 − y = x2 .                     (2.6)

  Ðåøåíèå.      Ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì áóäåò

                                            y 00 − y = 0.                       (2.7)

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
                                             λ2 − 1 = 0                         (2.8)
èìååò êîðíè λ1 = 1, λ2 = −1. Ïîýòîìó

                                        y0 = C1 ex + C2 e−x .                   (2.9)

  Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.6). Ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.6) ñîîòâåòñòâóåò
÷èñëî γ = 0, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.8). Ñëåäîâà-
òåëüíî, èùåì ÷àñòíîå ðåøåíèå â âèäå

                                        y1 = Ax2 + Bx + C.

Ïîäñòàâëÿåì y100 è y1 â óðàâíåíèå (2.8), èìååì

                                   2A − Ax2 − Bx − C = x2 .

Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ñòåïåíÿõ è ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà
A, B è C :

                                       ïðè x0 :   2A − C = 0,
                                       ïðè x:     − B = 0,
                                       ïðè x2 :   − A = 1.

Îòñþäà A = −1, B = 0, C = −2. ×àñòíîå ðåøåíèå 

                                           y1 = −x2 − 2.                       (2.10)

Ïðèáàâëÿÿ ê ýòîìó ÷àñòíîìó ðåøåíèþ îáùåå ðåøåíèå (2.9) óðàâíåíèÿ (2.7), ïîëó÷àåì
îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.6):

                                  y = C1 ex + C2 e−x − x2 − 2.

Страницы