Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
2
− λ = 0
λ
1
= 0 λ
2
= 1
y
0
= C
1
+ C
2
e
x
.
y
00
− y
0
= e
x
, y
00
− y
0
= e
2x
, y
00
− y
0
= x.
y
00
− y
0
= e
x
e
x
γ = 1
1
y
1
= Axe
x
.
Ae
x
= e
x
A = 1
y
1
= xe
x
.
y
00
− y
0
= e
2x
y
2
= Ae
2x
,
γ = 2
A = 1/2
y
2
=
1
2
e
2x
.
y
00
− y
0
= x
y
3
= x(Ax + B),
γ = 0
−2Ax − B + 2A = x ⇒ −2A = 1, −B + 2A = 0 ⇒ A = −
1
2
, B = −1,
                                                   31


Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
                                             λ2 − λ = 0                                      (2.18)

èìååò êîðíè λ1 = 0, λ2 = 1. Ïîýòîìó

                                           y0 = C1 + C2 ex .                                 (2.19)

Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.16). Äëÿ ýòîãî îòûùåì ñíà÷àëà ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
äëÿ êàæäîãî èç òðåõ óðàâíåíèé:

                       y 00 − y 0 = ex ,    y 00 − y 0 = e2x ,   y 00 − y 0 = x.

  Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
                                             y 00 − y 0 = ex                                 (2.20)

Ôóíêöèè ex ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî γ = 1, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè 1, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòíîå ðåøåíèå èùåì â âèäå

                                             y1 = Axex .                                     (2.21)

Ïîäñòàâëÿåì ôóíêöèþ (2.21) â óðàâíåíèå (2.20), ïîëó÷àåì Aex = ex . Îòñþäà A = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                              y1 = xex .                                     (2.22)

  Óðàâíåíèå
                                            y 00 − y 0 = e2x                                 (2.23)

èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäà
                                             y2 = Ae2x ,                                     (2.24)

èáî ÷èñëî γ = 2 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâèâ ôóíêöèþ
(2.24) â óðàâíåíèå (2.23), íàéäåì A = 1/2, òàê ÷òî
                                                  1
                                              y2 = e2x .                                     (2.25)
                                                  2
  Óðàâíåíèå
                                             y 00 − y 0 = x                                  (2.26)

èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäà
                                           y3 = x(Ax + B),                                   (2.27)

òàê êàê ÷èñëî γ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâ-
ëÿÿ ôóíêöèþ (2.27) â óðàâíåíèå (2.26), èìååì:
                                                                       1
         −2Ax − B + 2A = x ⇒ −2A = 1,               −B + 2A = 0 ⇒ A = − ,          B = −1,
                                                                       2

Страницы