Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
00
+ y = e
x
cos 2x
y
2
= e
x
(A cos 2x + B sin 2x),
γ = 1 ± i · 2
A = −1/10 B = 1/5
y
2
= e
x
−
1
10
cos 2x +
1
5
sin 2x
.
y = −
1
2
x cos x + e
x
−
1
10
cos 2x +
1
5
sin 2x
+ C
1
cos x + C
2
sin x.
y
00
− 4y
0
+ 4y = x
2
y
000
+ y
00
= 10 − 24x
y
00
+ 2y
0
+ y = e
2x
y = (C
1
+ C
2
x)e
−x
+
1
9
e
2x
y
00
+ y
0
− 6y = xe
2x
y
00
− 7y
0
+ 12y = e
2x
(1 − 2x)
y
00
+ 9y = 2 cos 3x − 3 sin 3x
y
00
− y = 2x sin x
y
00
+ 6y
0
+ 13y = e
−3x
cos 4x
y
00
− 4y = e
2x
sin 2x
y
00
− 4y
0
+ 4y = e
2x
+ x/2
y
000
+ y
00
= x
2
+ 1 + 3xe
x
y
00
− 2y
0
− 8y = e
x
− 8 cos 2x
y = (C
1
+ C
2
x)e
2x
+
1
8
(2x
2
+ 4x + 3) y = C
1
e
−x
+ C
2
+ C
3
x − 4x
3
+
17x
2
y = (C
1
+ C
2
x)e
−x
+
1
9
e
2x
y = C
1
e
2x
+ C
2
e
−3x
+ x
x
10
−
1
25
e
2x
y =
C
1
e
4x
+ C
1
e
3x
− e
2x
(x + 1) y = C
1
sin 3x + C
2
cos 3x + x
1
2
cos 3x +
1
3
sin 3x
y =
C
1
e
x
+ C
2
e
−x
− x sin x − cos x y = e
−3x
(C
1
cos 2x + C
2
sin 2x) −
1
12
e
−3x
cos 4x y =
C
1
e
−2x
+C
2
e
2x
−
e
2x
20
(sin 2x+2 cos 2x) y = (C
1
+C
2
x+x
2
)e
2x
+
x + 1
8
y = C
1
e
−x
+C
2
+
C
3
x +
3
2
x
2
−
1
3
x
3
+
1
12
x
4
+ e
x
3
2
x −
15
4
y = C
1
e
−2x
+ C
2
e
4x
−
1
9
e
x
+
1
5
(3 cos 2x + sin 2x)
                                                       33


   Äëÿ óðàâíåíèÿ
                                               y 00 + y = ex cos 2x                           (2.32)

èìååì ÷àñòíîå ðåøåíèå
                                          y2 = ex (A cos 2x + B sin 2x),                      (2.33)

èáî çäåñü ÷èñëî γ = 1 ± i · 2 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
   Ïîäñòàâèâ ôóíêöèþ (2.33) â óðàâíåíèå (2.32), íàéäåì A = −1/10, B = 1/5, òàê ÷òî
                                                      
                                x    1           1
                          y2 = e − cos 2x + sin 2x .
                                     10          5
   Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèå (2.29) â âèäå
                                               
                 1           x   1        1
            y = − x cos x + e − cos 2x + sin 2x + C1 cos x + C2 sin x.
                 2               10       5
   Íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé:

   36.   y 00 − 4y 0 + 4y = x2 .
   37.   y 000 + y 00 = 10 − 24x.
                                                     1
   38.   y 00 + 2y 0 + y = e2x . y = (C1 + C2 x)e−x + e2x .
                                                     9
   39.   y 00 + y 0 − 6y = xe2x .
   40.   y 00 − 7y 0 + 12y = e2x (1 − 2x).
   41.   y 00 + 9y = 2 cos 3x − 3 sin 3x.
   42.   y 00 − y = 2x sin x.
   43.   y 00 + 6y 0 + 13y = e−3x cos 4x.
   44.   y 00 − 4y = e2x sin 2x.
   45.   y 00 − 4y 0 + 4y = e2x + x/2.
   46.   y 000 + y 00 = x2 + 1 + 3xex .
   47.   y 00 − 2y 0 − 8y = ex − 8 cos 2x.
                                          1
   Îòâåòû: 36.    y = (C1 + C2 x)e2x + (2x2 + 4x + 3). 37. y = C1 e−x + C2 + C3 x − 4x3 +
                                          8                                          
                                    1 2x                                    x      1
17x . 38. y = (C1 + C2 x)e + e . 39. y = C1 e + C2 e
    2                        −x                        2x        −3x
                                                                     +x         −       e2x . 40. y =
                                    9                                      10     25     
                                                                     1           1
C1 e + C1 e − e (x + 1). 41. y = C1 sin 3x + C2 cos 3x + x
    4x       3x   2x
                                                                       cos 3x + sin 3x . 42. y =
                                                                     2           3
                                                                             1
C1 ex + C2 e−x − x sin x − cos x. 43. y = e−3x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) − e−3x cos 4x. 44. y =
                                                                            12
                 e2x                                                   x+1
    −2x
C1 e +C2 e −  2x
                     (sin 2x+2 cos 2x). 45. y = (C1 +C2 x+x )e +
                                                               2 2x
                                                                             . 46. y = C1 e−x +C2 +
                 20                                                    8
       3 2 1 3 1 4               3     15                                1 x 1
C3 x + x − x + x + e         x
                                   x−       . 47. y = C1 e−2x
                                                              + C2 e − e + (3 cos 2x + sin 2x).
                                                                    4x
       2       3    12           2      4                                9      5

Страницы