Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
3
= −x
1
2
x + 1
.
Y
1
Y
1
= xe
x
+
1
2
e
2x
− x
1
2
x + 1
.
y = xe
x
+
1
2
e
2x
− x
1
2
x + 1
+ C
1
+ C
2
e
x
.
y
00
+ y = sin x + e
x
cos 2x.
y
00
+ y = 0; λ
2
+ 1 = 0; λ
1
= i, λ
2
= −i;
y
0
= C
1
cos x + C
2
sin x.
y
00
+ y = sin x.
sin x γ = ±i
y
1
= x(A cos x + B sin x).
−2A sin x + 2B cos x = sin x.
A B
cos x 2B = 0,
sin x − 2A = 1.
A = −1/2 B = 0
y
1
= −
1
2
x cos x.
                                                    32


ñëåäîâàòåëüíî,                                             
                                                       1
                                       y3 = −x           x+1 .                   (2.28)
                                                       2
  Òåïåðü, ñêëàäûâàÿ ÷àñòíûå ðåøåíèÿ (2.22), (2.25) è (2.28), íàõîäèì ÷àñòíîå ðåøåíèå
Y1 âñåãî óðàâíåíèÿ (2.16) â âèäå
                                                                    
                                      1                         1
                             Y1 = xe + e2x − x
                                         x
                                                                  x+1 .
                                      2                         2
Ïðèáàâëÿÿ ê ýòîìó ÷àñòíîìó ðåøåíèþ îáùåå ðåøåíèå (2.19) óðàâíåíèÿ (2.17), ïîëó÷àåì
îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.16):
                                                             
                               1                       1
                       y = xe + e2x − x
                               x
                                                         x + 1 + C1 + C2 ex .
                               2                       2
Ïðèìåð   10. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                   y 00 + y = sin x + ex cos 2x.                 (2.29)

  Ðåøåíèå.   Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:

                      y 00 + y = 0;     λ2 + 1 = 0;         λ1 = i,   λ2 = −i;

                                    y0 = C1 cos x + C2 sin x.
  Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ

                                             y 00 + y = sin x.                   (2.30)

Òàê êàê ôóíêöèè sin x ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî γ = ±i, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðè-
ñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå ñëåäóåò èñêàòü â âèäå

                                   y1 = x(A cos x + B sin x).                    (2.31)

  Ïîäñòàâëÿåì ôóíêöèþ (2.31) â óðàâíåíèå (2.30):

                               −2A sin x + 2B cos x = sin x.

Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ôóíêöèÿõ è ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà
A è B:

                                      ïðè cos x:        2B = 0,
                                      ïðè sin x:         − 2A = 1.

Îòñþäà A = −1/2, B = 0. ×àñòíîå ðåøåíèå
                                               1
                                         y1 = − x cos x.
                                               2

Страницы