Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
00
+ y = 4xe
x
.
y
00
+ y = 0.
λ
2
+ 1 = 0
λ
1
= i λ
2
= −i
y
0
= C
1
cos x + C
2
sin x.
4xe
x
γ = 1
y
1
= e
x
(Ax + B).
y
1
y
00
1
e
x
(2Ax + 2A + 2B) = 4xe
x
.
A B
x
0
2A + 2B = 0,
x 2A = 4.
A = 2 B = −2
y
1
= (2x − 2)e
x
.
y = C
1
cos x + C
2
sin x + (2x − 2)e
x
.
y
00
− y
0
= e
x
+ e
2x
+ x.
y
00
− y
0
= 0.
                                              30


Ïðèìåð   8. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                       y 00 + y = 4xex .                       (2.11)

  Ðåøåíèå.   Ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì áóäåò

                                        y 00 + y = 0.                          (2.12)

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
                                         λ2 + 1 = 0                            (2.13)

èìååò êîðíè λ1 = i, λ2 = −i. Ïîýòîìó

                                 y0 = C1 cos x + C2 sin x.                     (2.14)

  Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.11). Ôóíêöèè 4xex ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî γ = 1,
êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.13), çíà÷èò ÷àñòíîå ðåøå-
íèå èùåì â âèäå
                                    y1 = ex (Ax + B).                          (2.15)

Ïîäñòàâëÿåì y1 è y100 â óðàâíåíèå (2.11), ïîëó÷àåì

                               ex (2Ax + 2A + 2B) = 4xex .

Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ñòåïåíÿõ è ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà
A è B:

                                 ïðè x0 :    2A + 2B = 0,
                                 ïðè x:     2A = 4.

Îòñþäà A = 2, B = −2. ×àñòíîå ðåøåíèå 

                                     y1 = (2x − 2)ex .

  Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.11) 

                           y = C1 cos x + C2 sin x + (2x − 2)ex .

Ïðèìåð   9. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                  y 00 − y 0 = ex + e2x + x.                   (2.16)

  Ðåøåíèå.   Ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì áóäåò

                                        y 00 − y 0 = 0.                        (2.17)

Страницы