Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
1
y = y
0
+ y
1
f(x) = P (x) P (x) x γ =
0 γ = 0
y
1
= Q(x) Q(x)
P (x) γ
k y
1
= x
k
Q(x)
f(x) = P (x)e
ax
γ = a γ = a
y
1
= Q(x)e
ax
γ
k y
1
= x
k
Q(x)
f(x) = e
ax
(P
1
(x) cos bx+P
2
(x) sin bx) P
1
(x) P
2
(x) x
γ = a ± ib m P
1
(x) P
2
(x)
γ
y
1
= e
ax
(Q
1
(x) cos bx + Q
2
(x) sin bx),
Q
1
(x) Q
2
(x) m γ
k
y
1
= x
k
e
ax
(Q
1
(x) cos bx + Q
2
(x) sin bx);
f(x) = f
1
(x) + f
2
(x) + . . . + f
m
(x) f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)
1 −3 y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
m
(x)
f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)
Y
1
= y
1
(x) + y
2
(x) + . . . + y
m
(x)
x
2
+ x − 1 → γ = 0;
(x
3
+ x)e
2x
→ γ = 2;
(x + 2) cos 3x → γ = ±3i; 5 cos 3x − 4 sin 3x → γ = ±3i;
                                                   28


Íà âòîðîì ýòàïå íàõîäèòñÿ ÷àñòíîå ðåøåíèå y1 óðàâíåíèÿ (2.5). Ñóììà

                                              y = y0 + y1

åñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.5). Çäåñü áóäåò ðàññìîòðåíî äâà ìåòîäà íàõîæäåíèÿ
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ  ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ è
ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ.

                         Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ


Ýòîò ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:
   1. f (x) = P (x), ãäå P (x) - ïîëèíîì îò x. Äàííîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî γ =
0. Åñëè ÷èñëî γ = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.5) ìîæíî íàéòè â âèäå y1 = Q(x), ãäå Q(x) - ïîëèíîì òîé æå
ñòåïåíè, ÷òî è P (x), íî ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åñëè ÷èñëî γ ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè k , òî y1 = xk Q(x);
   2. f (x) = P (x)eax . Ôóíêöèè ýòîãî âèäà ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî γ = a. Åñëè ÷èñëî γ = a
íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî y1 = Q(x)eax . Åñëè γ åñòü êîðåíü
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè k , òî y1 = xk Q(x);
   3. f (x) = eax (P1 (x) cos bx+P2 (x) sin bx), P1 (x) è P2 (x) - ïîëèíîìû îò x. Ñîîòâåòñòâóþùèå
÷èñëà  γ = a ± ib. Ïóñòü m åñòü íàèâûñøàÿ èç ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ P1 (x) è P2 (x). Åñëè
÷èñëî γ íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî

                               y1 = eax (Q1 (x) cos bx + Q2 (x) sin bx),

ãäå Q1 (x), Q2 (x) - ïîëèíîìû ñòåïåíè m ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åñëè γ åñòü
êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè k , òî

                              y1 = xk eax (Q1 (x) cos bx + Q2 (x) sin bx);

   4. f (x) = f1 (x) + f2 (x) + . . . + fm (x), ãäå f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) - ôóíêöèè âèäà, ðàñ-
ñìîòðåííîãî â ïï. 1 − 3. Åñëè y1 (x), y2 (x), . . . , ym (x) - ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
ôóíêöèÿì f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x), òî

                                  Y1 = y1 (x) + y2 (x) + . . . + ym (x)

ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì âñåãî óðàâíåíèÿ (2.5).
   Ïðèìåðû ñîîòâåòñòâèÿ :
   x2 + x − 1 → γ = 0;
   (x3 + x)e2x → γ = 2;
   (x + 2) cos 3x → γ = ±3i; 5 cos 3x − 4 sin 3x → γ = ±3i;

Страницы