Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
1
= 7e
−2
C
2
= −3e
−2
C
1
C
2
y = (7 − 3x)e
x−2
.
y
IV
+ 16y = 0.
λ
4
+ 16 = 0 ⇒ λ = (−16)
1/4
.
1/4 −16 −16
z = x + iy = r[cos(ϕ + 2πn) + i sin(ϕ + 2πn)],
r =
p
x
2
+ y
2
,
ϕ =
arctg
y
x
, x > 0;
π + arctg
y
x
, x < 0, y ≥ 0;
−π + arctg
y
x
, x < 0, y < 0;
π/2, x = 0, y > 0;
−π/2, x = 0, y < 0;
ω
n
= r
1/k
cos
ϕ + 2πn
k
+ i sin
ϕ + 2πn
k
, n = 0, 1, . . . , k − 1.
−16 = 16[cos(π + 2πn) + i sin(π + 2πn)];
λ
n
= {(−16)
1/4
}
n
= 2
cos
π + 2πn
4
+ i sin
π + 2πn
4
, n = 0, 1, 2, 3. ⇒
n = 0 λ
0
=
√
2 + i
√
2,
n = 1 λ
1
= −
√
2 + i
√
2,
n = 2 λ
2
= −
√
2 − i
√
2,
n = 3 λ
3
=
√
2 − i
√
2.
                                                  26


Ðåøàåì ñèñòåìó C1 = 7e−2 , C2 = −3e−2 . Ïîäñòàâëÿåì çíà÷åíèÿ C1 è C2 â îáùåå ðåøåíèå
è ïîëó÷àåì èñêîìîå
                                          y = (7 − 3x)ex−2 .

Ïðèìåð   6. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                                           y IV + 16y = 0.

  Ðåøåíèå.   Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

                                    λ4 + 16 = 0 ⇒ λ = (−16)1/4 .

  Èçâëå÷åì ñòåïåíü 1/4 èç ÷èñëà −16. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà çàïèøåì ÷èñëî −16 â òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïåðåõîäà

                        z = x + iy = r[cos(ϕ + 2πn) + i sin(ϕ + 2πn)],

ãäå
                                                p
                                           r=    x2 + y 2 ,
                                 
                                 
                                 
                                  arctg xy , x > 0;
                                 
                                 
                                   π + arctg xy , x < 0, y ≥ 0;
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                              ϕ=   −π + arctg xy , x < 0, y < 0;
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                  π/2, x = 0, y > 0;
                                 
                                 
                                  −π/2, x = 0, y < 0;
                                 

  è ôîðìóëó
                                                         
                       1/k        ϕ + 2πn         ϕ + 2πn
              ωn = r          cos         + i sin           ,   n = 0, 1, . . . , k − 1.
                                     k               k
  Îòñþäà íàéäåì
                              −16 = 16[cos(π + 2πn) + i sin(π + 2πn)];

                                                                
                        1/4              π + 2πn         π + 2πn
          λn = {(−16)         }n = 2 cos         + i sin           ,     n = 0, 1, 2, 3. ⇒
                                            4               4
                                                    √   √
                                     n = 0: λ0 =   2 + i 2,
                                                  √      √
                                     n = 1: λ1 = − 2 + i 2,
                                                  √      √
                                     n = 2: λ2 = − 2 − i 2,
                                                 √      √
                                     n = 3: λ3 = 2 − i 2.

Страницы