Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C = 0 dy = ±x ⇒ y = A ± x
C < 0 C = −C
2
1
dy
p
1 − (C
1
y)
2
= ±dx ⇒ C
1
y = sin(C
0
+ C
1
x);
C > 0 C = C
2
1
dy
p
1 + (C
1
y)
2
= ±dx ⇒ C
1
y = ±sh(C
0
+ C
1
x).
F (y
(n−1)
, y
(n)
) = 0
y
(n)
y
(n)
y
(n)
= f(y
(n−1)
).
y
(n−1)
= z(x)
z
0
x
= f(z)
dz
f(z)
= dx
Z
dz
f(z)
= x + C
1
.
z z = ω(x, C)
y
(n−1)
= ω(x, C)
z
z
dy
(n−2)
= y
(n−1)
dx =
zdz
f(z)
,
y
(n−2)
=
R
zdz
f(z)
= ϕ
2
(z, C
2
),
dy
(n−3)
= y
(n−2)
dx =
ϕ
2
(z,C
2
)dz
f(z)
,
y
(n−3)
=
R
ϕ
2
(z,C
2
)dz
f(z)
= ϕ
3
(z, C
2
, C
3
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y = ϕ
n
(z, C
2
, . . . , C
n
).
                                                  12


  1. C = 0.  ýòîì ñëó÷àå dy = ±x ⇒ y = A ± x;

  2. C < 0, C = −C12 . Îòñþäà
                                dy
                         p                 = ±dx ⇒ C1 y = sin(C0 + C1 x);
                             1 − (C1 y)2

  3. C > 0, C = C12 . Îòñþäà
                               dy
                         p                 = ±dx ⇒ C1 y = ± sh(C0 + C1 x).
                           1 + (C1 y)2

  Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè âèäà óðàâíåíèÿ (1.18).


                   1.4    Óðàâíåíèÿ âèäà                 F (y (n−1) , y (n) ) = 0

                   Óðàâíåíèÿ, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî                      y (n)

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà y (n) :

                                         y (n) = f (y (n−1) ).                      (1.21)

Äåëàåì çàìåíó y (n−1) = z(x), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
                                                         dz
                                zx0 = f (z) èëè               = dx                  (1.22)
                                                        f (z)
Èíòåãðèðóåì                           Z
                                             dz
                                                  = x + C1 .                        (1.23)
                                            f (z)
  Åñëè âîçìîæíî, ïîëó÷åííîå ðåøåíèå (1.23) ðàçðåøàåì îòíîñèòåëüíî z : z = ω(x, C).
Äåëàåì îáðàòíóþ çàìåíó: y (n−1) = ω(x, C). Ýòîò òèï óðàâíåíèÿ áûë ðàññìîòðåí âûøå.
  Åñëè ðàçðåøèòü óðàâíåíèå (1.23) îòíîñèòåëüíî z íåëüçÿ, òî ïîñòóïàåì ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Ïðèíèìàåì z çà   íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ:
                    
                    
                    
                         dy (n−2) = y (n−1) dx = fzdz
                                                    (z)
                                                        ,
                    
                    
                          y (n−2) = fzdz
                                    R
                                            = ϕ2 (z, C2 ),
                    
                    
                                        (z)
                    
                    
                    
                    
                        dy (n−3) = y (n−2) dx = ϕ2 (z,C  2 )dz
                    
                                                              ,
                                                     f (z)
                                                                                    (1.24)
                        y (n−3) = ϕ2 (z,C   2 )dz
                                  R
                      
                      
                                       f (z)
                                                  = ϕ3 (z, C2 , C3 ),
                      
                      
                      
                      
                      
                       ..........................................
                      
                      
                      
                       y = ϕ (z, C , . . . , C ).
                               n      2           n

Страницы